(完整)人教版高一数学必修一基本初等函数解析

1基本初等函数一．【要点精讲】1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且，则这个数称a的n次方根。即若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan②性质：1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；3）当n为偶数时，)0()0(||aaaaaan。（2）．幂的有关概念①规定：1）naaaan(N*；2）)0(10aa；n个3）paapp(1Q，4）maaanmnm,0(、nN*且)1n②性质：1）raaaasrsr,0(、sQ）；2）raaasrsr,0()(、sQ）；3）rbababarrr,0,0()(Q）。（注）上述性质对r、sR均适用。（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数1）以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）01loga；23）1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。③运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log；2）NMNMaaalogloglog；3）nMnMana(loglogR）④换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma1）1loglogabba；2）bmnbanamloglog。2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称③函数值的变化特征：10a1a①100yx时，②10yx时，③10yx时①10yx时，②10yx时，③100yx时，3（2）对数函数：①定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(；2）函数的值域为R；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数；4）对数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴）；4）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。③函数值的变化特征：（3）幂函数1）掌握5个幂函数的图像特点2）a0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）当a0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限10a1a①01yx时，②01yx时，③010yx时.①01yx时，②01yx时，③100yx时.4四．【典例解析】题型1：指数运算例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(922)2917(21]1024251253794[；（2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2．（1）已知11223xx，求22332223xxxx的值解：∵11223xx，∴11222()9xx，∴129xx，∴17xx，∴12()49xx，∴2247xx，又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx，5∴223322247231833xxxx。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()yfx的图象经过点1(2,)8，则满足()fx＝27的x的值是.答案13例3．计算（1）2(lg2)lg2lg50lg25；（2）3948(log2log2)(log3log3)；（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23解：（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2；（2）原式lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3()()()()lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg352lg36lg24；（3）分子=3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2；分母=41006lg26lg101100036lg)26(lg；原式=43。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例4．设a、b、c为正数，且满足222abc（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。6证明：（1）左边222logloglog()abcabcabcabcabab22222222222()22loglogloglog21abcaabbcabccababab；解：（2）由4log(1)1bca得14bca，∴30abc……………①由82log()3abc得2384abc………………………②由①②得2ba……………………………………③由①得3cab，代入222abc得2(43)0aab，∵0a，∴430ab………………………………④由③、④解得6a，8b，从而10c。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指数、对数方程例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数abxfxx122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(babf解得即从而有.212)(1axfxx又由aaff1121412)1()1(知，解得2a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1xxxxf由上式易知)(xf在R上为减函数，又因)(xf是奇函数，从而不等式0)2()2(22ktfttf等价于).2()2()2(222ktfktfttf因)(xf是R上的减函数，由上式推得.2222kttt即对一切,0232kttRt有从而31,0124kk解得解法二：由（1）知,2212)(1xxxf又由题设条件得0221222121221222222ktkttttt即0)12)(22()12)(22(2222212212ktttttkt整理得12232ktt，因底数21，故0232ktt7上式对一切Rt均成立，从而判别式.31,0124kk解得例6．（2008广东理7）设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（B）A．3aB．3aC．13aD．13a【解析】'()3axfxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即'()30axfxae有正根。当有'()30axfxae成立时,显然有0a,此时13ln()xaa，由0x我们马上就能得到参数a的范围为3a.点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4：指数函数的概念与性质例7．设1232,2()((2))log(1)2.xexfxffxx＜，则的值为，（）A．0B．1C．2D．3解：C；1)12(log)2(23f，eeff22))2((10。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值例8．已知)1,0()(log1aaxxxfa且试求函数f(x)的单调区间。解：令txalog，则x=ta，t∈R。所以taatf)(即xxaaxf)(，（x∈R）。因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性。任取1x，2x，且使210xx，则)()(12xfxf)()(1122xxxxaaaa212121)1)((xxxxxxaaaa（1）当a1时，由210xx，有210xxaa，121xxa，所以0)()(12xfxf，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。（2）当0a1时，由210xx，有210xxaa，121xxa，所以0)()(12xfxf，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，（－∞，0）是f(x)的单调区间。点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1aa两种情况来处理。8题型5：指数函数的图像与应用例9．若函数myx|1|)21(的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m≤－1B．－1≤m0C．m≥1D．0m≤1解：)1(2)1()21()21(11|1|xxyxxx，画图象可知－1≤m0。答案为B。点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是1,0,1aa两种情况下函数xay的图像特征。例10．设函数xxfxfxx22)(,2)(|1||1|求使的取值范围。解：由于2xy是增函数，()22fx等价于3|1||1|2xx①1)当1x时，|1||1|2xx