固态电子XXXX-第四章

第四章晶格振动晶体中各原子在一定温度T下，都在各自的平衡位置附近作振动——我们称为晶格振动，它同样会影响晶体的性质如比热、热导等，也与晶体对光的散射有很大关联。本章的中心内容是采用最近邻原子简谐近似的方法来研究晶格振动的问题，用格波来描述这种晶体原子的集体运动，并由一维振动得出的结论推广到三维振动，最后从量子理论的角度用声子这个概念来表述格波对应的能量。§4.1一维单原子链的振动一、晶格振动——格波模型建立：一维单原子链含N个原子，每个原子都具有相同的质量m，平衡时原子间距——晶格常数a。研究思路：把原子的振动看作是简谐振动，先计算原子之间的相互作用力，再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程，最后求解方程。步骤：⒈求出原子间的作用力；⒉列出原子振动的微分方程；⒊求出方程的解。图4.1一维单原子链模型在平衡位置时，两个原子间的相互作用势能为U(a)考虑第n个原子，令振动后nn1（4.1.1）则振动后两个原子的相互作用势能变为U(a+δ)将其在平衡位置处泰勒展开：222)(21)()()(aadrUddrdUaUaU（4.1.2）在r=a处，U(a)为常数，δ很小忽略高次项0)(adrdU222)(21)()(adrUdaUaU（4.1.3）则在振动时，原子受到的恢复力为：adrUdddUf)(22（4.1.4）——这种处理晶格振动的方法叫简谐近似其中恢复力常数adrUd)(22（4.1.5）以第n个原子为研究对象，考虑左、右原子对它的作用力，则第n个原子受到的总作用力为：)2()()(1111nnnnnnnnf（4.1.6）根据牛顿定律)2(1122nnnnndtdmf（4.1.7）方程的通解为振幅为A，角频率为ω的简谐振动形式：)(naqtinAe（4.1.8）与平面波方程比较发现，晶格振动也具有“波”的形式，我们称之为“格波”。其中q代表格波的波矢，qna代表第n个原子振动的位相因子。晶格振动时每个原子都可以写出其格波形式，如第n+1个原子的偏移为：])1([1aqntinAe二、格波的意义晶体的格波与连续介质波具有完全相同的形式。一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动，在简谐近似下，格波是简谐平面波，波矢q=2π/λ某t时刻所有原子的偏移如右图所示。向上的箭头代表原子沿X轴向右振动，向下的箭头代表原子沿X轴向左振动，箭头的长度代表原子离开平衡位置位移的大小。图4.2格波的意义μn+2三、格波波矢的取值和布里渊区图4.3原子振动相同的两种格波只要清楚波矢q在第一布里渊区（-π/a，π/a]的晶格振动问题就可以，其它区域不能提供新的物理信息。格波是波矢q的周期函数，)(naqtinAe当时aqq2),(),()(2)2(qAeeAeqnnaqtininnaqtin（4.1.9）即波矢q相差2π/a的两列格波完全相同，对晶格常数为a的一维晶体，2π/a恰是其布里渊区的长度。四、玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件以上的讨论是将一维单原子晶格看作无限长来处理的，这样所有原子的位置是等价的，每个原子的振动形式都一样。实际的晶体都为有限的，形成的链不是无穷长，这样链两头的原子就不能用中间原子的运动方程来描述。玻恩－卡门（Born-Karman）提出采用周期性条件可解决上述困难。如图4.4所示。图4.4一维无限长链由N个原子头尾相接形成一个环链，它保持了所有原子等价的特点，当N很大时，其中的原子振动仍近似为直线运动。第n个原子和第N+n个原子应该为同一原子，他们的振动也应该相同，即μn=μn+N图4.5一维无限长原子链结论：在第一BZ中，h只能取N个整数值,波矢q也只能取N个不同的分立值,所以晶格振动包含N个不同的波矢状态。代入（4.1.8）中：])([)(aqNntinaqtiAeAe方程成立要求：1iNaqe所以五、色散关系将第n-1、n和n+1原子的振动μn-1、μn、μn+1代入运动方程中：)2(1122nnnnndtdmf整理后得到：)2(2iqaiqaeem（4.1.10）利用整理后得到：)(21cosiiee)2(sin4)]cos(1[222qamqam（4.1.11）⒈频率ω的取值范围频率ω是波矢q的偶函数，如图4.6。由（4.1.11）解出色散关系曲线是周期性的在q空间的周期为：2π/a频率的极小值为：ωmin=0;频率的极大值为：图4.6一维单原子链的色散关系（4.1.12）⒉长波近似和短波近似长波近似：当q→0，即波长λa（λ→∞）时，色散关系如图4.7中蓝线所示。在长波极限下一维单原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色散关系一致，因此在长波极限下，对于一维单原子晶格格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续介质。图4.7一维单原子链长波近似下的色散关系qmaq时当0返回长波极限下，相邻两个原子之间振动的位相差qa→0，此时λ→∞，一个波长内包含所有原子，晶格可以看作是连续介质，如图4.8(a)所示。短波近似：当q→π/a时，ω取极大值。格波的波长λ=2a，相邻原子的振动位相相反，如图4.8(b)所示。(a)(b)图4.8长波极限和短波极限下的格波示意图⒊色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性前面已经说过，格波频率ω是波矢q的周期函数，周期为（2π/a），正好为一维原子链的最短倒格矢，即ω(q)=ω(q+Kh)，称为倒格子平移对称性，其中Kh为倒格矢。ω(q)=ω（－q）－―倒格子反演对称性。关于色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性的这两个结论对三维晶格也是适用的。*结论*：对含N个原子的一维单原子晶体（即一维简单晶格）⒈可用格波来描述晶格的振动；⒉格波的波矢q在第一布里渊区内取N个不同的分立值，每个q值对应一个ω,一组（ω，q）对应一个格波，则晶格的振动可用N个独立的格波（即N个独立的简正模式）来描述；⒊这N个格波的频率ω与波矢q的关系由同一条色散曲线所概括，即这N个格波属于同一种格波；⒋晶格中每一个原子都参与了这N个独立的简谐振动，任何一个原子的实际振动是这N个格波所描述的简谐振动的线性叠加。§4.2一维双原子链的振动一、一维双原子链的振动含N个原胞的一维无限长复式格子的振动选取这样的模型：原胞含两种原子m、M（Mm），相邻同种原子间的距离为2a（即为晶格常数）。质量为M的原子位于2n-1，2n+1……质量为m的原子位于2n，2n+2……图4.9一维双原子链模型牛顿运动方程：方程解的形式：因为Mm，复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的，即A和B一般不同。（4.2.1）（4.2.4）（4.2.3）（4.2.2）（4.2.6）（4.2.5）整理后得到ω与q的关系：由关系式可以看出，ω与q之间存在着两种不同的色散关系，我们称一维双原子晶体中可以存在两种独立的格波。返回（4.2.8）（4.2.7）二、波矢的取值当波矢时，所有原子的振动不变。为了保证波函数的单值性，一维复式格子q的值限制在：-π2aq≤π，则对含N个原胞的有限晶体aqq三、色散关系——声学波与光学波一维复式格子中存在两种不同的格波的色散关系：也就是说，对一个q会有两个ω与之对应，形成两种不同的格波形式。链接对ω-一支：当q→0时，(ω-min)→0；当q→±π/2a时，称该支格波为声频支格波，简称声学波。（4.2.10）（4.2.9）对ω+一支：当q→0时，当时，我们称该支格波为光频支格波，简称光学波。四、长波极限下格波的意义考虑q→0——长波极限情况：⑴声学波比较在q→0时这与一维单原子链（一维简单格子）的情形形式上是相同的，可以说由完全相同的原子组成的布拉伐格子只有声学波。结论:在长声学波中，相邻原子的振动方向相同，并且振幅相同，所以长声学波代表的是原胞质心(即原胞整体)的振动，如图所示。图4.11一维复式晶格的长声学波由（4.2.5）整理得（4.2.11）⑵光学波将代入到中得到：（4.2.12）将和代入得：结论:长光学波中同种原子振动位相一致，相邻原子振动方向相反，且长光学波是原胞质心不变的振动，它实际上表示原胞内原子之间的相对运动，如图4.12所示。图4.12一维复式晶格的长光学波即0BMAm结论：对含N个原胞的一维双原子晶体：⒈格波波矢q在第一布里渊区有N个分立的值，即有N种独立的简正模式，晶格振动的波矢数目=晶体中的原胞数；⒉每个q对应有两个ω，即一个q对应有两支格波，其中一支描述原胞质心的运动，称为声学波；另外一支描述原胞内原子的相对运动，称为光学波；⒊描述晶格振动的总的格波数目=晶体总的原子数2N。§4.3三维晶格的振动一、三维晶格的格波形式晶体模型：我们考虑这样的三维晶体：晶体原胞基矢分别为，在三个基矢方向上的原胞个数分别为N1、N2、N3，则晶体总的原胞数N=N1·N2·N3。每个原胞中含n个原子，质量分别为：现在我们来求第L个原胞中第k个原子的运动：其中的α=1，2，3，代表k原子在三个基矢方向运动的位移分量，一个k原子有三个方程，则对一个原胞来说共有3n个类似的方程。将解代回到3n个方程中，得到关于A11、A12、A13、A21、A22、A23、······An1、An2、An3的3n个线性齐次方程。根据系数行列式为零的条件，可得到3n个与波矢对应的，即一个波矢与3n个ω对应。（4.3.1）（4.3.2）二、格波的意义与一个波矢对应的ω有3n个，即存在3n种格波形式。与一维复式晶格类似，在这3n个格波中，也分为声学波和光学波两种。在长波极限下，其中有3个频率对应的格波描述的是不同原胞之间的相对运动（即原胞质心的运动）——称为声学波；另外3n-3支长波极限的格波描述的是一个原胞中各原子间的相对运动——称为3n-3支光学波。可以得到这样的结论：若三维晶体的一个原胞由n个原子组成，则每个波矢对应的格波中有3支声学波和3n-3支光学波。三、波矢的取值在原子的振动函数中，波矢的作用体现在不同原胞之间的位相联系：当波矢改变一个倒格矢时，这说明和所代表的格波产生的振动一样，为了保持格波的单值性，我们将波矢取值限定在一个倒格子原胞中，通常选取晶格第一布里渊区。（4.3.3）（4.3.4）三维晶格振动的波矢是一个矢量，它在波矢空间（即晶格的倒空间）中可以表示为：其中的代表倒格子的基矢量，为系数。根据玻恩-卡门边界条件：（4.3.5）（4.3.6）（4.3.7）（4.3.8）满足方程要求的为：其中的h1、h2、h3为3个整数，这时的表示为：在倒空间中，一个波矢所占据的体积为：（4.3.9）（4.3.10）（4.3.11）——V为原胞体积，从上述推倒中可以看出，满足边界条件的波矢在倒空间中应取分立的值，当h1、h2、h3取不同的整数时，可以得到不同的波矢量。对应一个有3支声学波和3n-3支光学波，含N个原胞的三维晶体，格波的波矢数目为N个，不同的格波总数为：3nN个，也等于晶体总的自由度。（4.3.12）结论：对含有N个原胞的L维晶格，若每个原胞中含n个原子，则：⒈晶格振动的简正模式数（即波矢数目）=晶格的原胞数N。⒉对应每个波矢的频率ω的数目=维数L×n，其中代表原胞整体运动的声学波有L支，代表原胞内原子之间的相对运动的光学波有Ln-L支。⒊晶格振动的总的格波数目=L×n×N，即为晶体中所有原子的自由度之和。⒋晶格的振动可以用LnN个独立的格波来描述，每个原子的实际运动，都是它们在这LnN个格波描述的简谐振动中运动的迭加。返回§4.4晶格振动的量子化和声子在简谐近似下，含有m个原子的三维晶体的晶格振动，我们可用3m个独立的简谐格波来描述，晶体中每个原子的实际振动状态由这3m个格波共同决定。而晶格振动的能量可以表示成这3m个独立的格波所对应的谐振子的能量之和的形式。在量子力学中，频率为