第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理

第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过∆ABC的顶点，并且与∆ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则BPPC∙CQQA∙ARRB=1证明：设ℎ𝐴、ℎ𝐵、ℎ𝐶分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：BPPC∙CQQA∙ARRB=ℎ𝐵ℎ𝐶∙ℎ𝐶ℎ𝐴∙ℎ𝐴ℎ𝐵=1。注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例1若直角∆ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。【解析】因为在∆EBC中，作∠B的平分线BH，则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以∆EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于∆ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDA∙AEEK∙KFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC=BKBE，根据分比定理有：KFKC=BKKE，所以∆FKB≅∆CKE，所以BF∥CE。例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1，B1，C1，D1，试证：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:A1D1B1D1。【解析】若AD∥A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于∆A1AL和∆B1BL可得：ADLD∙LD1A1D1∙A1KAK=1，LCAC∙AKA1K∙A1C1LC1=1，BCLC∙LC1B1C1∙B1KBK=1，LDBD∙BKB1K∙B1D1LD1=1，将上面四个式子相乘，可得：ADAC∙BCBD∙A1C1A1D1∙B1D1B1C1=1，即：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:B1D1B1C1定理2设P、Q、R分别是∆ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于∆ABC边上的点的个数为0或2，这时若BPPC∙CQQA∙ARRB=1，求证P、Q、R三点共线。证明：设直线PQ与直线AB交于R’，于是由定理1得：BPPC∙CQQA∙AR‘R’B=1，又因为BPPC∙CQQA∙ARRB=1，则AR‘R’B=ARRB，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于∆ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R‘或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R‘同在AB线段上，则R与R‘必定重合，不然的话，设AR𝐴R‘，这时AB−AR𝐴𝐵−𝐴R‘，即BR𝐵R‘，于是可得ARBRAR‘BR‘，这与ARBR=AR‘BR‘矛盾，类似地可证得当R与R‘同在AB的延长线上时，R与R‘也重合，综上可得：P、Q、R三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；例3点P位于∆ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线。【解析】易得：BA1CA1=−BP∙cos∠PBCCP∙cos∠PCB，CB1AB1=−CP∙cos∠PCAAP∙cos∠PAC，AC1BC1=−AP∙cos∠PABBP∙cos∠PBA，将上面三个式子相乘，且因为∠PCA=∠PBC，∠PAB=∠PCB，∠PCA+∠PBA=180°，可得BA1CA1∙CB1AB1∙AC1BC1=1，根据梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线。例4设不等腰∆ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。【解析】∆ABC被直线XFE所截，由定理1可得：BXXC∙CEEA∙AFFB=1，又因为AE=AF，代入上式可得BXXC=FBCE，同理可得CYYA=DCAF，AZZB=EABD，将上面的式子相乘可得：BXXC∙CYYA∙AZZB=1，又因为X、Y、Z丢不在∆ABC的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线。例5已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和A1B1的交点为C2，直线BC和B1C1的交点为A2，直线AC和A1C1的交点为B2，试证A2、B2、C2三点共线。【解析】设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB和（A1，B1，C2），OBC和（B1，C1，A2），OAC和（A1，C1，B2）应用梅涅劳斯定理有：AA1OA1∙OB1BB1∙BC2AC2=1，OC1CC1∙BB1OB1∙CA2BA2=1，OA1AA1∙CC1OC1∙AB2CB2=1，将上面的三个式子相乘，可得：BC2AC2∙AB2CB2∙CA2BA2=1，由梅涅劳斯定理可知A2、B2、C2共线。例6在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线。【解析】记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对∆UVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E)，(A,M,F)，(B,C,N)，(A,C,E)，(B,D,F)，则有UEVE∙VLWL∙WDUD=1，VAWA∙UFVF∙WMYM=1，UNVN∙WCUC∙VBWB=1，WAVA∙UCWC∙VEUE=1，WBVB∙UDWD∙VFUF=1，将上面五个式子相乘可得：VLWL∙WMUM∙UNVN=1，点L、M、N共线。二、塞瓦定理定理：设P、Q、R分别是∆ABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：BPPC∙CQQA∙ARRB=1。CBA1A1B1C证明：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则BPPC=S∆ABPS∆ACP=S∆BMPS∆CMP=S∆ABMS∆ACM，同理CQQA=S∆BCMS∆ABM，ARRB=S∆ACMS∆BCM，以上三式相乘，得：BPPC∙CQQA∙ARRB=1，再证充分性：若BPPC∙CQQA∙ARRB=1，设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R’，由塞瓦定理有：BPPC∙CQQA∙AR’R’B=1，约翰斯：AR’R’B=ARRB，因为R和R’都在线段AB上，所以R’必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点M。例7证明：三角形的中线交于一点。【解析】记∆ABC的中线AA1，BB1，CC1，我们只须证明AC1C1B∙BA1A1C∙CB1B1A=1，而显然有：AC1=C1B，BA1=A1C，CB1=B1A，即AC1C1B∙BA1A1C∙CB1B1A=1成立，所以，∆ABC交于一点，例8在锐角∆ABC中，∠C的角平分线交AB于L，从L做边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：CP⊥AB。【解析】作CK⊥AB，下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，根据塞瓦定理即要证：AMMC∙CNNB∙BKAK=1，又因为MC=CN，即要证明：AMAK∙BKNB=1，因为∆AML≅∆AKC⟹AMAK=ALAC，∆BNL≅∆BKC⟹BKNB=BCBL，即要证ALAC∙BCBL=1，根据三角形的角平分线定理可知：ALAC∙BCBL=1，所以CK、BM、AN三线共点，且为P点，所以CP⊥AB。例9设AD是∆ABC的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点，BP、CP分别与AC、AB交于E和F，则∠EDA=∠FDA。【解析】过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证∠EDA=∠FDA，可以转化为证明AM=AN，因为AD⊥BC，故MN∥BC，可得∆AME≅∆CDE，∆ANF≅∆BDF，所以AMCD=AECE，ANBD=AFBF，于是AM=AE∙CDCE，AN=AF∙BDBF，因为AD、BE、CF共点与P，根据塞瓦定理可得：BDDC∙CEEA∙AFFB=1，所以AE∙CDCE=AF∙BDBF，所以AM=AN，所以∠EDA=∠FDA例10在∆ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1，证明AC1C1B∙BA1A1C∙CB1B1A=sin∠ACC1sin∠C1CB∙sin∠BAA1sin∠A1AC∙sin∠CBB1sin∠B1BAMQRACPBCBA1A1B1CKLNMCBA【解析】如图对∆ACC1和∆BCC1应用正弦定理，可得AC1C1C=sin∠ACC1sin∠A，CC1C1B=sin∠Bsin∠C1CB，即AC1C1B=sin∠ACC1sin∠C1CB∙sin∠Bsin∠A，同理：BA1A1C=sin∠BAA1sin∠A1AC∙sin∠Csin∠B，CB1B1A=sin∠CBB1sin∠B1BA∙sin∠Asin∠C，从而AC1C1B∙BA1A1C∙CB1B1A=sin∠ACC1sin∠C1CB∙sin∠BAA1sin∠A1AC∙sin∠CBB1sin∠B1BA。