第9章-控制规律的离散化设计方法(z变换、大林算法、D(Z)的计算机实现)

第5章控制规律的离散化设计方法第5章控制规律的离散化设计方法5.1离散系统分析基础5.2离散系统性能分析5.3数字控制器直接设计5.4大林(Dahlin)算法5.5数字控制器D(z)算法实现第5章控制规律的离散化设计方法5.1离散系统分析基础在连续系统分析中，应用拉氏变换作为数学工具，将描述系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传递函数为基础的复域分析法，使得问题得以大大简化。那么在离散系统的分析中是否也有类似的途径呢？答案是肯定的，在离散系统中，采用Z变换法，也可以将差分方程转化为代数方程，同样可以建立以Z传递函数为基础的复域分析法。第5章控制规律的离散化设计方法5.1.1Z变换及性质1.Z变换定义Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采样函数的拉氏变换演变而来的。连续信号e(t)的拉氏变换式E(s)是复变量s的有理函数。在一定条件下，微机控制系统中的采样可假设为理想采样。将连续信号e(t)通过采样周期为T的理想采样后可得到采样信号e*(t)，它是一组理想加权脉冲序列，每一个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，其表达式为0()()()ketekTtkT(5―1)第5章控制规律的离散化设计方法对式(5―1)进行拉氏变换，0()[()]()kTskEsLetekTe(5―2)式中含有无穷多项，且每一项中含有e-kTs，它是s的超越函数，而不是有理函数，为了运算方便，引入新的变量z，令z=eTs，则式(5―2)0()()kkEzekTz(5―3)第5章控制规律的离散化设计方法在式(5―3)中E(z)称为e*(t)的Z变换。记作：Z［e*(t)］=E(z)因为Z变换只对采样点上的信号起作用，所以也可写为：Z［e(t)］=E(z)将式(5―3)展开，E(z)=e(0)z-0+e(1)z-1+e(2)z-2+…+e(m)z-m+…(5―4)第5章控制规律的离散化设计方法由此看出，采样函数的Z变换是变量z的幂级数(或称罗朗级数)。其一般项e(kT)·z-k的物理意义是e(kT)表征采样脉冲的幅值；z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。因为它既包含了量值信息e(kT)，又包含了时间信息z-k。第5章控制规律的离散化设计方法2.Z变换的计算方法求任意函数e(t)的Z变换，通常分三步进行：①e(t)被理想采样器采样，给出离散采样函数e*(t)；②求e*(t)的拉氏变换，给出③在E*(s)中用z替换eTs，给出0()[()]()kTskEsLetekTe0()()kkEzekTz第5章控制规律的离散化设计方法1)级数求和法级数求和法是根据Z变换的定义式求函数e(t)的Z变换。严格说来，时间函数或级数可以是任何函数，但是只有当E(z)表达式的无穷级数收敛时，它才可表示为封闭形式。下面通过典型信号的Z变换式来说明如何应用级数求和法计算Z变换。第5章控制规律的离散化设计方法【例5―1】求单位阶跃函数的Z变换解设e(t)=1，求Z变换E(z)。由定义可得：1230()1()1kkEzkTzzzz(5―5)这是一个公比为z-1的等比级数，当|z-1|1亦即|z|＞1时，级数收敛，则式(5―5)可写成闭合形式：11()11zEzzz(5―6)第5章控制规律的离散化设计方法【例5―2】求单位理想脉冲序列的Z变换。解设求Z变换E(z)，则0()()()TketttkT1230()1(/)11kkzEzkTzzzzz(5―7)其中：|z|1。第5章控制规律的离散化设计方法比较式(5―6)和式(5―7)可以看出，不同的e(t)，可以得到相同的E(z)。这是由于阶跃信号采样后e*(t)与理想脉冲串是一样的。所以Z变换只是对采样点上的信息有效只要ｅ*(t)相同，E(z)就相同，但采样前的e(t)可以是不同的。第5章控制规律的离散化设计方法【例5―3】单位斜坡信号。解设e(t)=t，求Z变换E(z)，则0()()kkEzkTz20()()(1)(1)kkTzEzkTzzz(5―8)第5章控制规律的离散化设计方法【例5―4】指数函数。解设e(t)=e-at，求Z变换E(z)，a为实常数，则122330()1kTkTTTkEzezezezez(5―9)这是一个公比为e-aT·z-1的等比级数，当|e-aT·z-1|1时，级数收敛，则式(5―9)11()1TTzEzezze(5―10)第5章控制规律的离散化设计方法2)部分分式展开法用部分分式展开法求Z变换，即已知时间函数e(t)的拉氏变换E(s)，求该时间函数e(t)的Z变换。它是通过s域和时间域之间的关系，来建立s域和z域之间的关系的。其解法的具体步骤是：己知E(s)，将之分解成部分分式之和，查变换表求时间函数e(t)＝L-1［E(s)］，利用式(5―3)或查Z变换表求出E(z)。设连续时间函数ｅ(t)的拉氏变换E(s)为有理分式函数()()()MsEsNs(5―11)第5章控制规律的离散化设计方法式(5―11)中，M(s)和N(s)分别为复变量ｓ的有理多项式。当E(s)没有重根时，即E(s)没有重极点，可将E(s)展开成部分分式和的形式，1()niiiAEssp(5―12)式(5―12)中，pi是拉氏变换式E(s)的第i个极点，即N(s)的零点；Ai是第i项系数，可用待定系数法求得，即当N(s)()()()iiispMsAspNs(5―13)第5章控制规律的离散化设计方法式(5―14)中N′(s)是N(s)对s的导数。由拉氏变换知道，与Ai/(s-pi)相对应的时间函数为Aiepit。根据式(5―10)便可求得与Ai/(s-pi)项对应的Z变或者当N(s)未分解为因式乘积时()()iispMsANs(5―14)11iiiipTpTAAzezze第5章控制规律的离散化设计方法因此，函数ｅ(t)的Z变换便可由E(s)求得，并可写作111()[()]1iinniipTpTiiAAzEzZEsezze(5―15)第5章控制规律的离散化设计方法【例5―5】已知()()Esssa,求它的Z变换E(z)。解先对E(s)进行部分分式分解:11()()Esssassa第5章控制规律的离散化设计方法查表得11211211()[]1111()[]11(1)()()11(1)()(1)(1)TTTTTTTTzEzZszzzEzZsaezzzzzeEzZEszezzzezezeze第5章控制规律的离散化设计方法3)留数计算法若己知连续时间函数e(t)的拉氏变换式E(s)及其全部极点pi(i＝1，2，…，n)，则e(t)的Z变换还可以通过下列留数计算求得，1111()Re[()]1{[()()]}(1)!iiiinipTirnisprsTiizEzsEpzedzspEsrdsze(5―16)第5章控制规律的离散化设计方法式中，n为全部极点数，ri为极点ｓ＝pi的重数，T为采样周期。因此，在已知连续函数e(t)的拉氏变换式E(s)全部极点pｉ的条件下，可采用式(5―16)求e(t)的Z变换式。第5章控制规律的离散化设计方法【例5―6】已知控制系统的传递函数为，求其Z变换式。解由传递函数求出的极点为：s1=-1，r1=1；s2=-4，r2=1。Z变换式为1()(1)(4)Esss1441()(1)(1)(4)1(4)(1)(4)3()3()ssTssTTTzEzssszezssszezzzeze第5章控制规律的离散化设计方法【例5―7】求连续时间函数00()0Ttettet对应的Z变换式。解e(t)的拉氏变换为21()()Essa则s1,2=-a，r1,2=2。用式(5―16)对它进行变换后，222211()[()](21)!()()()sasasTsTTsTTdzEzsadssazeTzeTzezeze第5章控制规律的离散化设计方法3.Z变换基本定理与拉氏变换类似，在Z变换中有一些基本定理，它们可以使Z变换变得简单和方便。1)线性定理若已知e1(t)和e2(t)有Z变换分别为E1(z)和E2(z)，且a1和a2为常数，Z［a1e1(t)±a2e2(t)］=a1E1(z)±a2E2(z)(5―17)第5章控制规律的离散化设计方法2)右移位定理若Z［e(t)］=E(z)，Z［e(t-nT)］=z-nE(z)(5―18)其中，n为正整数。说明：该定理表明，“t”域中的采样信号e*(t)时间上延迟n步，则对应于在“z”域中ｅ*(t)的Z变换E(z)乘以n步时迟因子z-n。第5章控制规律的离散化设计方法3)左移位定理若Z［e(t)］=E(z)，12(1)10(()]{()(0)()()[(1)]}[()()]nnnnkkZetnTzEzeeTzeTzenTzzEzekTz(5―19)其中，n为正整数。第5章控制规律的离散化设计方法【例5―8】求被延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。解应用右移(延迟)定理，11[1()[1()]11zzZtTzZtzzz4)复位移定理若函数e(t)有Z变换E(z)[()][]ttZeetEze(5―20)式中，a是常数。第5章控制规律的离散化设计方法5)初值定理若Z［e(t)］=E(z)，且极限存在，则当t=0时的采样信号e*(t)的初值e(0)取决于的极限值，即lim()zEzlim()zEz0(0)lim()lim()nzeEnTEz(5―21)第5章控制规律的离散化设计方法6)终值定理若Z［e(t)］=E(z)，且(1-z-1)E(z)在单位圆上和单位圆外无极点(该条件确保e*(t)存在有界终值)，111()lim()lim(1)()lim(1)()nzzeEnTzEzzEz(5―22)根据初值定理和终值定理，可以直接由Z变换式E(z)获得相应的采样时间序列e(kT)的初值和终值。第5章控制规律的离散化设计方法【例5―9】已知Z变换为，其中|a|1。求序列e(kT)的初值和终值。解(1)由初值定理，得e(kT)的初值为111()(1)(1)Ezzaz111(0)lim1(1)(1)zezaz(2)因111(1)(),1zEzaz极点|a|1，在单位圆内，故可以利用终值定理求终值，即111111()lim()lim(1)()lim11xzzeekTzEzaza第5章控制规律的离散化设计方法5.1.2Z反变换1.长除法通常E(z)是z的有理函数，可表示为两个z的多项式1201112012()mmmmnnnnbzbzbzbEzazazaza(5―23)对式(5―23)用分母除分子，并将商按z-1的升幂排列，有120120()kkkkkEzcczczczcz(5―24)第5章控制规律的离散化设计方法式(5―24)恰为Z变换的定义式，其系数ck(k=0，1，2，…)就是e(t)在采样时刻t=kT时的值e(kT)。此法在实际中应用较为方便，通常计算有限n项就够了，缺点是要得到e(kT)的一般表达式较为困难。第5章控制规律的离散化设计方法【例5―10】已知10(),(1)(2)zEzzz试求其Z反变换。解1121231211212323434345451010()(1)(2)132103070132101030203020309060706070