随机变量的期望、方差的计算-华北电力大学成人教育学院

随机变量的期望、方差的计算方法辛开远，杨玉华与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征：数学期望、方差。一、数学期望1．设离散型随机变量X的分布律为：kkpxXp，kx1，2，…如果级数1kkkpx绝对收敛，则称级数1kkkpx的和为随机变量X的数学期望，即1)(kkkpxxE2．设连续型随机变量X的概率密度为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(的值为随机变量X的数学期望，即)(xEdxxxf)(3．数学期望的性质（1）CCE)(，（C为常数）（2）)()(XkEkXE，（k为常数，X是随机变量）（3）)()()(YEXEYXE，（X，Y是两个随机变量）（4）若X，Y是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE二、随机变量的函数的数学期望设Y是X的函数，)(XgY。1．当X是离散型随机变量时，X的分布律为kkpxXp，k1，2，…若级数1)(kkkpxg绝对收敛，则函数Y的数学期望为)]([)(XgEYE1)(kkkpxg2．当X是连续型随机变量时，X的概率密度为)(xf，若积分dxxfxg)()(绝对收敛，则函数Y的数学期望为)]([)(XgEYEdxxfxg)()(三、方差设X是一个随机变量，若2)]([XEXE存在，则称它为X的方差，记作)(XD，即)(XD2)]([XEXE则称)(XD为X的均方差或者标准差。1．若X是离散型随机变量，则)(XD12)]([kkkpXEx2．若X是连续型随机变量，则)(XDdxxfXEx)()]([2方差)(XD反映了随机变量X取值分散的程度，)(XD越小，X的取值越集中。3．方差的性质（1）)(XD≥0；（2）0)(CD，（其中C是常数）；（3）)()(2XDkkXD，其中k是常数，（4）若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有)()()(YDXDYXD（5）0)(XD的充分必要条件是1}{CXp，这里)(XEC；（6）22)]([)()(XEXEXD常用公式（6）计算方差。四、矩1．X为离散型随机变量（1）若iikikpxXE1)(，k1，2，…，存在，则称它为X的k阶原点矩。（2）若kXEXE)]([iikipXEx1)]([存在，则称它为X的k阶中心矩。2．X为连续型随机变量（1）dxxfxXEkk)()(存在，则称它为X的k阶原点矩。（2）若kXEXE)]([dxxfXExk)()]([存在，则称它为X的k阶中心矩，其中，)(xf为X的概率密度。五、关于两个随机变量的函数),(YXgZ的数学期望1．设),(YX是二维离散型随机变量，若其分布律为ijiipyYxXp},{，（ji,1，2，…），则11),()],([)(iijjijpyxgYXgEZE这里，等式右端的级数绝对收敛。2．设),(YX是二维连续型随机变量，若其概率密度为),(yxf则dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(这里，等式右端的级数或积分绝对收敛。六、协方差和相关系数1．设),(YX是二维随机变量，若)]()][([YEYXEXE存在，则称它是X和Y的协方差，记作),(YXCov，即),(YXCov)]()][([YEYXEXE（1）当),(YX为离散型随机变量时，),(YXCovijijijpYEyXEx11)]()][([（2）当),(YX是连续随机变量时，),(YXCovdxdyyxfYEyXEx),()]()][([其中，),(yxf是),(YX的概率密度。2．若)(XD＞0，)(YD＞0，则称)()(),(YDXDYXCovxy为X和Y的相关系数。七、例题分析例1．设随机变量X的分布律为，求：)(XE，)(2XE，)(XD。解：2.03.023.004.0)2()(XE8.23.023.004.0)2()(2222XE76.2)2.0(8.2)]([)()(222XEXEXD例2．设随机变量21,XX的概率密度分别为0,00,2)(21xxexfxX，0,00,4)(42xxexfxX求：)(21XXE，)(1XD，)(2XD。解：)()()(2121XEXEXXE040242dxexdxexxx43412121211)]([)()(XEXEXD4122200222dxexdxexxx22222)]([)()(XEXEXDX-202kp0.40.30.316144200442dxexdxexxx例3．设二维随机变量),(YX具有概率密度其它,01,1),(22yxyxf,求：),(YXCov，xy。解：dxdyyxxfXEu),()(110200cos1rdrdrdxdyyxyfYEu),()(20sin1rdrdrdxdyyxfuyuxYXCov),())((),(21102200cossin1rdrdr0)()(),(YDXDYXCovxy例4．设二维随机变量),(YX的分布律为XY-101}{jyYp-18181818308108182181818183}{ixXp8382831求：)(XE，)(YE，),(YXCov，xy。解：083182083)1()(XE083182083)1()(YE08111081)1(10811)1(081)1()1()(XYE0)()()(),(YEXEXYEYXCov0)()(),(YDXDYXCovxy