清华大学结构力学第五章

1第五章影响线§5-1影响线的基本概念§5-2静力法作影响线§5-3机动法作影响线§5-4影响线的应用§5-5简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩§5-6超静定力的影响线§5-7连续梁的最不利荷载分布及内力包络图2§5-1影响线的基本概念一、移动荷载例如：吊车在吊车梁上运行时，其轮压对吊车梁而言是移动荷载。又如汽车、火车在桥梁上行驶时，其轮压对桥梁来说也是移动荷载。荷载的大小、方向一定，但荷载位置连续变化的荷载就称为移动荷载。汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是：一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中力的大小、方向固定，相互间的位置也固定，作为整体在结构上移动。3在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M、FQ、FN）和位移（△、θ）及支座反力均随移动荷载在结构上的位置变化而变化。FP1FP2FP3FP4a1a3a2ba4q结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题：1）对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc）当给定的移动荷载在什么位置时得到最大值？该问题是求移动荷载的最不利位置问题。42）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图的画法等问题。为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个移动荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移的变化规律。5FP=1xBAla)FRA0(0)BRAPlxMFFxllyb)xyy1y2FRA影响线1现讨论图a)所示简支梁，当单个荷载FP=1在梁上移动时，支座A的反力FRA的变化规律。6RAlxFl(0)xl在影响线图形中，横坐标x表示单位移动荷载在梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷载在该位置时，影响系数的大小。RAF上式是反力影响系数与移动荷载位置参数x之间的函数关系，该函数图形就称为反力FRA的影响线，见上页图b)。RAF由上式可见，FRA与FP成正比，比例系数称为FRA的影响系数，用表示，即：lxlRAF7BFP1AFP2c)1122RAPPFFyFy若梁上作用有固定荷载（图c），则根据叠加原理，A支座的反力FRA为：b)xyyy1y2FRA影响线18PPZZFZZF当单位集中移动荷载FP=1在结构上移动时，表示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线，称为Z的影响线。量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座反力。影响系数是Z与FP的比例系数，即：Z二、影响线定义与Z的量纲不同，它们相差一个荷载FP的量纲。Z9§5-2静力法作影响线梁弯矩M的正负号：剪力FQ的正负号：轴力FN的正负号：一、内力和支座反力的正负号竖向反力通常以向上为正，向下为负。10二、简支梁的影响线静力法作影响线：用静力平衡方程求出的函数关系，然后画出函数图形就求得了影响线。Zx0BRAlxMFl(0)xl1.支座反力影响线0ARBxMFl(0)xlFP=1xBAlabCRAFRBF11FRA影响线FRB影响线2.弯矩和剪力影响线当FP=1在AC段，取CB段作隔离体：CMQCFRBFbBC0(0)0(0)CCRByQCRBMMFbxaFFFxa1112当FP=1在CB段，取AC段作隔离体：QCFCMRAFaCA0()0()CCRAyQCRAMMFaaxlFFFaxlMc影响线ababl截面C弯矩和剪力影响线如下图示。13FQC影响线llblal14下面讨论影响线与内力图的区别。xFP=1ACablBACablBFP=1影响线ablblalFQ图M图内力图blalablFQC影响线MC影响线151）横坐标x：影响线图中，x是移动荷载的位置；内力图中，x是梁截面位置。2）纵坐标y：影响线图中，y是当FP=1在该位置时影响系数的值；内力图中，y是梁该截面的内力值。3）荷载位置：求影响线时，FP=1是移动荷载；内力图中，荷载位置固定。16ACBFP=1FQC左=b/lFQC右=-a/lalbl在FQC影响线图中，竖标是当FP=1作用于C截面时，FQC左的值；竖标则是FQC右的值，如图所示。blalFQC影响线llblal17三、伸臂梁的影响线作伸臂梁的影响线时，先画出简支梁的影响线，然后延伸至悬臂段。1.支座反力影响线FRA及FRB的影响线如右图示。0BMRAlxFl0AMRBxFldxldxFP=1ACablBddED1dldll1dldllFRA影响线FRB影响线18当FP=1在DC段时，取CE段作隔离体(图a)：0()0()CCRByQCRBMMFbdxaFFFdxa2.C截面弯矩及剪力影响线当FP=1在CE段时，取DC段作隔离体(图b)：0()0()CCRAyQCRAMMFaaxldFFFaxldCMQCFRAFdADaCCMQCFRBFbBCdEa)b)19MC影响线FQC影响线adlbdlabldldlblalMC及FQC影响线如下图示：3.作FQA右及A左截面内力影响线先作FQA右影响线。20FQA右影响线如下图示。(0)RAQAFFxld右当FP=1在DA段，取AE段作隔离体（图a)：当FP=1在AE段，取DA段作隔离体（图b)：0RBQAFFdx右A右dDAM右QAF右RAFb)lBdERBF右QAF右AMa)A右21FQA右影响线容易求得FQA左及MA左影响线见下图。小结：伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的影响线在AB段与简支梁相同，伸臂段图形则是简支段图形的延伸。d1MA左影响线FQA左影响线dldll22四、结点荷载作用下的影响线如图简支梁AB，荷载FP=1在上部纵梁上移动，纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。求主梁AB某截面内力Z的影响线。FP=1ACDKxB由下面的证明可以得出结论：在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响线在相邻结点之间是一条直线。下面以MK为例加以证明。23MK影响线（直接荷载）AKBa)MK影响线（结点荷载）ACKDBycydb)dCDKFP=1xdxdxdc)24KCDDCCdxxMyyddyyyxd可见，是的一次函数，也是x的一次函数。所以，MK影响线(图b)在结点C、D之间是一直线。KMx证明：1）在直接移动荷载作用下，MK的影响线已经画出，如图a)所示。2）在结点荷载作用下，当FP=1在截面C或D时，可得：3）当移动荷载FP=1作用在C﹑D截面之间时，根据叠加原理可得（图c)：()KcKdMyMyb及见图25作结点荷载下影响线的步骤为：1）作截面K的某量值Z在直接移动荷载下的影响线，并确定与各结点对应的竖标。2）在两结点之间连以直线，就得到结点荷载作用下的影响线。FQK影响线如下图所示：FQK影响线ACKDB26例5-2-1作图示梁在结点荷载作用下的影响线。解：Fp=1ACDxFEd/2d/22d/3dddddd/2d/23d/4MC影响线d/21/3FQC影响线1/31/3275d/6d/35d/12MD影响线FQD影响线1/61/35/62/3Fp=1ACDxFEd/2d/22d/3ddddd28ME影响线2d/3FQF左影响线1/31/32/31/31/32/3FQF右影响线1/3Fp=1ACDxFEd/2d/22d/3ddddd29五、静定平面桁架影响线平面桁架只承受结点荷载，单位移动荷载FP=1通过纵梁﹑横梁（横梁放置在结点上）系统传给桁架结点，如同前面讨论的简支梁受结点荷载的情况一样。因此，桁架任一杆的轴力影响线在两结点之间是一直线。求桁架杆件轴力的影响线时，把单位移动荷载FP=1依次作用在各结点上，用结点法或截面法求出杆件的轴力即可。30例5-2-2作图示桁架FN1﹑FN2的影响线。解：1）支座反力FRA﹑FRB的影响线与跨度为5d的简支梁相同。RAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dIIh31011(3)/NRBFFFdMhh011(2)/NRAFFFdMhh2)求FN1的影响线（上承）当FP=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：0FM当FP=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：0FMABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hFN1影响线（上承）6d/5h相应简支梁F截面的弯矩。0FM32011(3)/NRBFFFdMhh011(2)/NRAFFFdMhh求FN1的影响线（下承）当FP=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：0FM当FP=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：0FMABEF6d/5hFN1影响线（下承）2d/h3d/h相应简支梁F截面的弯矩。0FM333)求FN2的影响线（上承）当FP=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：0yF222204NRBFhFhd2222024422NRBQCDhdhdFFFhh当FP=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：0QCDF——相应简支梁节间CD的剪力。hd/22242hd34222204NRAFhFhd2222024422NRAQCDhdhdFFFhhABCD2244hdh223420hdh2242hdh2242hdhFN2影响线(上承)hd/22242hd求FN2的影响线（下承）当FP=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：0yF350yF2222024422NRBQEFhdhdFFFhh当FP=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：0yF2222024422NRAQEFhdhdFFFhh0QEFF——相应简支梁节间EF的剪力。ABEFFN2影响线（下承）223410hdh22410hdh2242hdh2242hdh36§5-3机动法作影响线机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何问题。对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确定，所以影响线的求解十分简捷。现以下图所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影响线为例进行说明。FP=1xl/4l/4lAB371.撤去与相应的约束，代之以反力，原结构变成具有一个自由度的机构。RBFRBZF（）2.令该机构产生刚体位移，使与Z方向一致，则虚功方程为：Z0ZPPZFx（）ZZ）（xP）（xPPF）（xP上式中，恒为正；与FP同向为正，反向为负。乘积的正负号由的正负号调整。P图FP=1xZP()xZ41Z45ABRBZF38()PZxZ1Z()PZx1ZPP可见，在图中，令，并将图反号，就求得Z的影响线，并且能确定影响线的正负号及竖标大小。3.由上式可得:令得到4145AB1FRB影响线39用机动法求下图所示伸臂梁MC及FQC的影响线。例5-3-1FP=1ABC2ddddx解：1.作MC的影响线将C截面变为铰接，暴露出弯矩；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面相对转角与同向，就得到图，见下页图。CMCMP40虚功方程为:()0()()0()0()CCPPCPPCZPPPCZMMFxMFxMFxxMZ2dZ3dZZ23dZ23dP()xCMP图ABC411Z令()CPMx则1ZP上式表明，在图中，令并反号，就可求得MC影响线。MC影响线23d23d3d2.作FQC的影响线将C截面改为滑动连结，暴露出剪力；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面位移方向与相同，就得到图，见下页图。PQCFQCF42虚功方程为:12()()033()0()QCZZPPQCZPPPQCZFFxFFxxF1Z令P()QCFx则ZZ31