有关银行贷款问题的数学建模论文

目录摘要11.问题重述22.问题分析23.模型假设24.符号说明25.模型建立与求解35.1建立模型Ⅰ35.1.1每月等额本息还款法35.1.2利随本清等本不等息还款法35.1.3等本等息等额还款法45.2建立模型Ⅱ45.2.1每月等额本息还款法45.2.2利随本清等本不等息还款法45.2.3等本等息等额还款法55.3模型求解55.3.1问题155.3.2问题255.5.3问题366.模型评价与推广97.参考文献98.附录101关于贷款问题的研究摘要随着社会的不断发展，我国国民生产总值也在不断提高，人们日益增长的物质需求也不断升高，可是对于大部分人来说，要想完成一些经济活动，需要向银行贷款，比如贷款创业、贷款买房、贷款买车等等，但是贷款利息及每月还款额是怎样计算的呢?如果假设采用等额贷款，若一直贷款总额、月利率、总额贷款时间，如何计算每月还款呢？更一般地，若已知贷款总额、月利率、总贷款时间、每月还款额这四个变量中的任意三个，能否求出另一个呢？本文通过一个实例建立了数学模型，它是根据每月还款之后还欠银行的钱数并利用了数学归纳法和二分法列出等式，再用等比数列求和公式化简该等式，从而建立出数学模型，并对它进行了深入的分析和研究。模型Ⅰ：对于问题一、二、三各银行现金贷款问题建立还款模型，本模型由贷款总额、月利率、总贷款时间这三个量建立求解每月还款额的模型。通过建立的模型我们可以知道在贷款时每个月的还款额。我们先设出利率，并列出每个月还款之后还欠银行的钱数，利用采用递推的思想（数学归纳法）总结出了第n个月还欠银行的钱数。利用等比数列求和公式以及二分法，应用Matlab7.0软件得出结果。模型Ⅱ：我们建立利息模型，并利用和上面的问题相同地思路，得出各种方案的总利息，列表作图比较各种方案的优缺点。在模型的建立过程中，主要得出以下公式：我们遵循每月等额本息偿还法，并利用现金贷款问题的思想和方法，最终得到每月还款额的计算公式：1110kkkrrrAx央行的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额根据它的还款原则，我们利用数学归纳法得出公式：rnkAnAxk100针对市建行的“等本、等息、等额还款法”通过利随本清等本不等息偿还法，算出总利息，然后平均分配，再将总贷款额平均分配，相加之后得到每月还款额的计算公式：rAnnnAx0021本文最大的优点在于建立的模型目标明确，便于解决问题。我们利用数学上常用的方法和思想，针对每一个问题进行了深入的研究和分析，并且得出在利率和总贷款额及贷款时间相等的情况下，出现还款总额不一样的现象的原因，并针对不同贷款方法列表和作图进行清晰的比较，得出它们的优缺点，能为大家在贷款问题上提供一些帮助，让广大群众可以根据自己的实际情况选择适合自己的还款方式。关键词：银行贷款还款方式二分法数学归纳法21、问题重述现代社会随着经济的持续增长，经济收入的不断提高，人们的经济需求越来越高。越来越多的工薪阶层都在以银行贷款。贷款时人们普遍的心理是想弄清楚其中的每一个细节，但很多人却不知道怎样计算这些贷款利率以及每期付款该付多少。对于贷款的利息及每月贷款额到底该怎样计算？若采用等额贷款，已知贷款总额、月利率、总贷款时间的情况下，我们该如何计算每月还款额呢？更一般的情况下，在已知贷款总额、月利率、总贷款时间，每月还款额这四个变量中的任意三个，就能计算出另一个，若能求出，该如何求呢？是否在利率、总贷款时间和总贷款金额都一样的情况下，每月还款额也一样呢？2、问题分析由于现代人们生活质量不断上升，人们经常需要利用贷款来进行一些经济活动，所以关于贷款的利息以及每月还款额是必须考虑的，对于某银行低息现金贷款广告问题，已知总贷款额、贷款时间、每月还款额，为了计算银行月利率，我们需要找到一个方法，设出未知量并建立等式。对于问题一已知贷款额、年利率、贷款时间，为了计算月还款额，我们需要知道每月还款之后还欠银行的金额，并利用最后一个月还清之后的欠款金额为零，可以列出等式，进而解出月还款额。对另一家公司的方案，我们仍利用上述思想建立模型进而分析出这家银行是否会赚钱以及能提前多少时间还清贷款。对于问题二我们针对三种不同的贷款方式进行分析，根据题中数据得到三种贷款方式的月还款额的计算方法。并且需要对这三种问题进行比较，从而需要得出合适的结论，使广大群众能够清楚的理解这三种贷款方式的利弊，从而对广大群众贷款提供帮助。3、模型假设基于对前面问题的分析，我们做出如下的假设:3.1.在贷款期间银行利率保持不变；3.2.在贷款期间贷款人有能力偿还每月还款额；3.3.在贷款期间贷款人能按时偿还每月贷款额，不会拖欠；3.4.在这段时间内不考虑经济波动的影响。4、符号说明x:每月还款额r：月利率0A：总贷款额B：总利息kA：第k期结束时还欠的借款n：总共借款n个月1r：公积金贷款的月利率2r：商业性贷款的月利率1x：公积金贷款的每月还款额2x：商业性贷款的每月还款额kx：第k个月还款额kB：第k个月的利息为nA:第n个月还了之后还欠银行的金额，显然有0nA35.模型建立与求解从所要解决的问题和所作的假设出发，我们建立了两个模型。模型Ⅰ还款模型本模型由贷款总额、月利率、总贷款时间这三个量建立求解每月还款额的模型。通过建立的模型我们可以知道在贷款时每个月的还款额。模型Ⅱ最优化模型本模型综合考虑各种因素，在固定总贷款额、利率、总贷款期数不变的情况下，建立总还款额最少（即总利息最少）的模型，并分析等额本息还款法、利随本清等本不等息还款法、等本等息等额还款法这三种还款方式的利弊，提供给贷款者更适合自己的还款方式。5.1建立模型Ⅰ由于各种贷款方式的不同，决定了我们在计算月还款额的方法也不通，下面进行分析：5.1.1每月等额本息还款法先还利息后还本金，每个月还的本金在逐渐增多，每个月还的利息在逐渐减少，但每月还款额相同。第1月还款后还欠的借款:xrAA101第2月还款后还欠的借款：xrAA112第k月还款后还欠的借款:xrAAkk11其数学模型xrAAkk11，1k，2，，n11.5利用数学归纳法和等比级数求解公式yyyyyynnn111122可求解11.5得到1110kkkrrxrAA21.5从0nA可得11100nnrrxrA31.5从中可以解得0nA时的x，n，0A，r其中1110kkkrrAx41.541.5为每月等额本息还款法的每月还款额5.1.2利随本清等本不等息还款法每月还款的本金相同，利息不等，每月还款额=每月所还本金+每月所还利息，则每月还款额不等。每月所还本金为nA04第一个月还利息：rAB01第二个月还利息：rnAB1102第k个月还利息：rnkABk110则第k个月还款额为rnkAnABnAxkk1100051.55.1.3等本等息等额还款法每个月还的本金相同，每个月还的利息相等，则每个月还款额相等，本方法相当于把利随本清还款法的总利息均分到每一个月。由5.1.2中利息的计算方法得总利息rAnrnkABnk010211161.5年均利息为rAnn021每月所还本金为nA0则每月的还款额为rAnnnAx002171.55.2建立模型Ⅱ5.2.1等额本息还款法第1个月的利息：rAB01第2个月的利息：rAB12第3个月的利息：rAB23第k个月的利息：rABkk1其数学模型111110kkkrrxrArB1k，2，，n总利息为rxrrArBBnkknkknkk111101111xnrxArrxAk00112.55.2.2利随本清等本不等息偿还法由61.5式可知总利息rAnB0215.2.3等本等息等额还款法总利息rAnB021比较上述三种还款法的总利息就可得出哪种方法最优。5.3模型求解5.3.1问题1.5某银行低息现金贷款广告问题，此贷款用的是每期等额本息还款法，因为已经知道了总贷款额、总贷款时间、和每月还款额，需要求月利率。把500000A,36n，1637x代入31.5得11163715000003636rrr13.5要求解方程13.5才可求解出r由我们对利率的了解，利率r一般是大于0小于2.0的。令1637)1(1637)1(500003636rrrrf（显然rf是连续函数，而且有021rfrf，其中2.0,021rr）由二分法有下表：1r1rf2r2rf221rr221rrf0-0.2＋0.1+0-0.05＋0.025+0-0.025＋0.0125+0-0.0125＋0.00625-0.00625-0.0125＋0.09375+0.00625-0.09375＋0.0078125-0.0078125-0.09375＋0.0085938-0.0085938-0.09375＋0.0089844-0.0089844-0.09375＋0.0091797+0.0089844-0.0091797＋0.0090821-0.0090821-0.0091797＋0.0091309-0.0091309-0.0091797＋0.0091553-0091.0r银行的贷款月利率为%91.0.5.3.2问题2.⑴.本题用的是每期等额还款法，本题是已知总贷款额、总贷款时间、年利率，需要求解每月还款额。把600000A,由年利率为%12有:月利率%112%12r，3001225n代入41.5中得每月还款额：101.0101.0101.060000300300x解之得：6329345.631x（美元）甲每月大概还632美元。⑵.对于另一家公司，我们有半个月为一期，而且已经知道了总贷款额、月利率、每半个月还款额（因为这里是半个月为一期),需求总贷款时间的问题。由31.5得：11100nnrrxrA6可以解得：rrAxxn1lnln023.5把581041896600000A,由年利率为%12有:月利率%112%12r每一期的利率为%5.02%1，3001225n代入23.5中可得：还款期5058276.5040049875415.098315349.2005.1ln005.058104316316lnn（月）提前还款时间为：403448.212521250525（年）所以另一家公司仍然可以赚钱，相对于让甲还23225年来说，此公司可以多赚两年的钱，即151682463