数学分析第三章极限与函数的连续性.ppt

第三章极限与函数的连续性一割圆术：刘徽（公元3世纪，魏晋时代，九章算术）利用圆内接正多边形来计算圆的面积，把正n边形的面积记为Sn当n越来越大时，Sn越接近于圆的面积。即：求圆的面积就要看当n无限增大时，Sn的变化趋势这就是数列的极限。§1极限问题的提出如图所示,可知rn二瞬时速度以前（中学）一般讨论平均速度：需讨论一个运动的物体在某一时刻t的速度（设为瞬时速度）的变化趋势，v思想：时间段[t,t+h]上的平均速度，让时间段越来越小，就越来越接近于vv让h无限变小，研究v这就是函数的极限。§2数列的极限定义域为正整数的函数称为数列，记为{xn}即有(),nxfnnNxn是数列的第n项，也叫做数列的通项。数列也可表示为123,,,,nxxxx定义3.11nnxn写出来就是3452,,,,2342nxn写出来就是1，4，9，16，……11nnx，写出来就是0，2，0，2，……关心的是：当无限增大时，nx的变化趋势。1nxn写出来就是1111,,,,2341nnxn写出来就是1111,,,,234例如1、极限的概念nx=1n容易看出，当n无限增大时，nx无限接近于0，因而nx的极限为0。nx=(1)nn当nnx的极限也是0。无限增大时，它的值时而为正，时而为负，但总的趋势仍然是无限的接近于0这个数，因此例1例2n无限增大时，nx越变越小，无限的接近于1，因此nx的极限是1。nx=1nn即3451011022,,,,,,,,234100101当例3nx=2n并不无限接近一个常数，因此说它没有极限。当n无限增大时，2n也无限增大，1(1)nnx一个常数，因此也没有极限。它在0和2两个数中不停的跳动，前三个数列的特点：当n无限增大时，nx的值无限地接近某个数.a例4，例5中的数列没有极限。“当n无限增大时，nx无限接近于a”是什么意思?例5例4也不是无限地接近以数列1n为例：当n无限增大时，1n无限接近于01n与0可以任意接近，要多近有多近10n可以任意小，要多小有多小10n总能小于任给一个正数，无论多么小，只要n足够大(充分大)无限用任意性来反映0.1分别对(只要n10),0.001(只要n1000)……尽管0.00001“很小”，但毕竟是确定的数。要描述10n可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，10n才行。这也能够做到。从110nn可知只要1n即可。也就是说取1N，当nN时，10n即从第1N项以后的所有项都满足10n例：都可以做到.综上：“当n无限增大时，1n无限接近于0”的实质是：对任意给定的（无论它多么小），总存在一个正整数N（例取1N），nN时，10n.将上面的语言抽象化，有下面定义：正数当nx是一数列，a是一实数，若对于任意给定的正数,存在正整数N，当nN时，都有nxa,则称a为数列nxnx收敛，且收敛于,a记为limnnxa或()nxan的极限。或数列定义3.2没有极限的数列称为发散数列。nx的极限为”的几何意义“数列aaa1Nx2Nx1xa（不一定去找满足要求的最小的）几点说明：1.使用邻域概念：开区间(,)aa称为a的邻域，记为(,)Oalimnnxa对任意给定的0，存在N，当nN时，nx(,)Oa定义中必须具有任意性：这样才能保证nx与a但为表明渐近过程的不同阶段，又具有相对固定性。即是通过无限多个相对固定性表现出来的。的无限接近，的任意性这就是任意与固定的辨证关系。的某个函数也可有同样作用。3.2.定义中，自然数不是唯一的。若存在0N满足要求，0N任一自然数都能起到0N的作用，N则比大的所以强调自然数的存在性4.N下面看几个例子：证明1lim0(0).pnpn证明：对任意给定的0，要使，只要11pn.取111pN,则当nN10pn1pn的极限为0.时，有故110ppnn例61q，证明lim0nnq证法1：若0q，结论显然成立。故不妨设0.q对任意给定的0，不妨设1，要使0nnqq，即lglgnq只要lglgnq，令lg1lgNq，则当nN时，有nq.这就证明了lim0nnq设证法2：0.q由1q知存在0，使得11q，从而1111....1nnnqnn对任给的0，要使nq，只要放大后的1n.因此取11N，则当nN时，有10nnqqn这就证明了.lim0nnq不妨设例7极限为0的数列称为无穷小量。下面给出非常重要的定义：nx的极限为a的充要条件是：nxa是无穷小量。命题3.1定义3.3值得注意的是,无穷小量是一数列,而不是一个很小的常数.由极限的定义显然有,以a为极限等价于数列以0为极限.我们把它写成下面的命题nxnxa从前面的例子可见，N的过程，nxa出发，看满足条件的N是否存在。我们只要找到一个就可以了，不管用的是什么方法。0nq适当放大到1n于是我们很容易找到N当然放大要适当，要保证把nxa放大后仍然是无穷小量。整个证明过程实际上是找采用的是反推法，即从证明2用的是适当放大法，它将(0)a证明lim1nna证明：若1a结论显然成立。1a.记1(0)nnna，则(1)1...nnnnnnann因此1nnaan对任意给定的0，不妨设1，取aN，则当nN时，有1naan最后设01a。这时存在1b使1ab，因此11111nnnnnbabbb由于lim1nnb，故对任意给定0，存在N，当nN时，有11nnab这样我们证明了当0a时，总有lim1nna设例8证明221lim12nnnn证明：当4n时，222222213324122244nnnnnnnnnnnnnn对任意给定的0，取4max4,,N则当nN22142nnnn即221lim12nnnn时，有例92、极限的四则运算与性质寻找求极限的方法lim,lim,nnnnxayb则)ilim;nnnxyab)iilimnnnxyab)iiilim(0)nnnxabyb定理实际上说的是：极限运算和四则运算可以交换次序。设定理3.1给出收敛数列的两个性质：称数列nx有界，若存在正数MnxM对一切的n成立，等价于：若存在,AB，使得nAxB，又称,AB分别为nx的下、上界。，使得定义3.4（有界性）有极限存在的数列必有界。定理3.2若nx无界，则nx发散。推论3.1证明设数列nx有极限a.由定义，对01则存在N,当nN，时有1nxa因此1nnnxxaaxaaa令12max(,,,1),NMxxxa则,1,2nxMn这就证明了nx是有界的。证明：由lim0,nnxa知对02a0，存在N,当nN时，有2naxa，从而022naaxa证毕。（保号性）若lim,0nnxaa，则存在N，当nN时，有02nax设limna)i若0a则存在N，当nN时，有02nax)ii若0a则存在N，当nN时，有02nax证明：)i由limna0知对002a存在N当nN时，有2naxa即有022naaxa推论3.2定理3.3定理3.1的证明：)ii对任意n，有nnnnnnxyabxyxbxbab.nnnnnnnxyxbxbabxybbxa任给0，由limna及limnnyb由定理3.2，知存在0M，使,1,2,...nxMn又知存在1N，当1nN时，有,21nxab并存在2N，当2nN时，.2nybM令12max(,),NNN则当nN时，有nnnnnxyabxybbxa221MbMb这就证明了limnnnxyab有根据极限定义，)iii由lim0nnyb，根据推论3.2，存在1N，当1nN时，有02nby从而当1nN时，有212nnnnnnnbxaybxaaybxaybybb已知lim,lim,nnnnxayb由极限定义，对任意给定的0存在2N，当2nN时，有4nbxa存在3N，当3nN时，有241nbyba若limnnybc，是常数，则lim()nncycb若nx是无穷小量，ny是有界数列，则nnxy是无穷小量。由定理3.1知，无穷小量的代数和、积仍是无穷小量。推论3.3定理3.4令123max(,,),NNNN则当nN时，有222nnnnaxaxaybybbb22这就证明了lim(0)nnnxabyb求1limsinnnn解因为1lim0nn，sinn是有界数列，1limsin0nnn例10而所以求2241lim256nnnn解2241lim256nnnn2214lim562nnnn221lim456lim2nnnnn2214lim2562limlimnnnnnn例11更一般的，若000,0,,abkl是正整数，则kl101101limkkkllnlananabnbnb1010limkkklnllaaannnbbbnn00,0,aklbkl（保序性）若lim,limnnnnxayb，且,ab则存在N当nN时，有nnxy（用定理3.3的证明方法）对02ab，由lim,nnxa知存在1N当1nN时，有,2nabxa则有2nabx又由limnnyb知存在2N，当2nN时，有2nabyb则有2naby12max(,)NNN，则当nN时，有.2nnabyx令nnnzxy，则limlim()0nnnnnzxyab由定理3.3知,存在,N当nN时，有02nnnabzxy即nnxy，这又证明了定理3.5证法2证法1定理3.5,令（用定理3.3的结论）0,3ab取或02()3ab如何?定理3.6（极限不等式）若对任意的正整数n，有lim,nnxa且,nnxy则.abnNab证明用反证法。如果不然,设,ab，当N，与假设条件矛盾，故必有nnxy则由定理3.5，存在时,有如果条件注意到数列的前有限项并不影响数列的极限，因此定理3.6的条件可以减弱为“存在，当时,有NnNnnxynnxy改为,nnxy并不能得到ab的结论。lim,nnyb例如11nnnn，11limlim1nnnnnn可见结论也只能得到ab定理3.6表明，在极限存在的前提下，可以在不等式两边取极限，但千万不要忘记“带上等号”。但定理3.7（唯一性）若数列极限存在，则极限是唯一的证明用反证法。如果不然，设nx有极限a和b，ab不放设,ab对02ba，存在1N，当1nN有时,2nbaxa同样存在2N，当2nN时有,2nbaxb故当12max