解题技巧：直线与圆的题型与方法-

解题技巧：直线与圆的题型与方法一、考试要求：直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域．4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二、教学过程：（Ⅰ）基础知识详析(一)直线的方程1．点斜式：)(11xxkyy；2．截距式：bkxy；3．两点式：121121xxxxyyyy；4．截距式：1byax；5．一般式：0CByAx，其中A、B不同时为0．(二)两条直线的位置关系两条直线1l，2l有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）．在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交．设直线1l：y=1kx+1b，直线2l：y=2kx+2b，则1l∥2l的充要条件是1k=2k，且1b=2b；1l⊥2l的充要条件是1k2k=-1．(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件．⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值．特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数．⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解．⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域．⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解．2．线性规划问题有以下基本定理：⑴一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形．⑵凸多边形的顶点个数是有限的．⑶对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到．3．线性规划问题一般用图解法．(四)圆的有关问题1．圆的标准方程222)()(rbyax（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r．特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为222ryx．2．圆的一般方程022FEyDxyx（FED422＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D，2E），半径为FEDr42122．当FED422=0时，方程表示一个点（2D，2E）；当FED422＜0时，方程不表示任何图形．3．圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222ryxcossinxryr（θ为参数）222)()(rbyaxcossinxarybr（θ为参数）（Ⅱ）高考数学直线与圆题选一、选择题（共17题）1．（安徽卷）如果实数xy、满足条件01,01,01yxyyx那么2xy的最大值为A．2B．1C．2D．3解：当直线2xyt过点(0，-1)时，t最大，故选B．2．（安徽卷）直线1xy与圆2220(0)xyaya没有公共点，则a的取值范围是A．(0,21)B．(21,21)C．(21,21)D．(0,21)解：由圆2220(0)xyaya的圆心(0,)a到直线1xy大于a，且0a，选A．3．（福建卷）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于A．2B．1C．0D．1解析：两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则(2)1aa，∴a=－1，选D．4．（广东卷）在约束条件0024xyyxsyx下，当35x时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是A．[6,15]B．[7,15]C．[6,8]D．[7,8]解析：由42442sysxxysyx交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(CsCssBA，（1）当43s时可行域是四边形OABC，此时，87z（2）当54s时可行域是△OAC此时，8maxz，故选D．5．（湖北卷）已知平面区域D由以(1,3),(5,2),(3,1)ABC为顶点的三角形内部＆边界组成．若xyxys24yxO在区域D上有无穷多个点(,)xy可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则mA．－2B．－1C．1D．4解析：依题意，令z＝0，可得直线x＋my＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x＋my＝0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝x＋my取得最小值，而直线AC的斜率为－1，所以m＝1，选C6．（湖南卷）若圆2244100xyxy上至少有三个不同点到直线l:0axby的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是()A．[,124]B．[5,1212]C．[,]63D．[0,]2解析：圆0104422yxyx整理为222(2)(2)(32)xy，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴22|22|2abab≤，∴2()4()1aabb≤0，∴23()23ab≤≤，()akb，∴2323k≤≤，直线l的倾斜角的取值范围是]12512[，，选B．7．（湖南卷）圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是A．36B．18C．26D．25解析：圆0104422yxyx的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到直线014yx的距离为|2214|25232，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=62，选C．8．（江苏卷）圆1)3()1(22yx的切线方程中有一个是A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x＝0D．y＝0【正确解答】直线ax+by=022(1)(3)1xy与相切，则|3|12ab，由排除法，选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事．【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解．9．（全国卷I）从圆222210xxyy外一点3,2P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A．12B．35C．32D．0解析：圆222210xxyy的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于5，每条切线与PM的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1242tan1314，该角的余弦值等于35，选B．10．（山东卷）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则z=10x+10y的最大值是A．80B．85C．90D．95解：画出可行域：易得A（5．5，4．5）且当直线z＝10x＋10y过A点时，z取得最大值，此时z＝90，选C11．（山东卷）已知x和y是正整数，且满足约束条件.72,2,10xyxyx则x－2x3y的最小值A．24B．14C．13D．11．5解：画出可域：如图所示易得B点坐标为xy2x＋3y＝92x＝115x－11y＝－22CBAOxy2x＋3y＝0x＋y＝102x＝7x－y＝2BAOC（6，4）且当直线z＝2x＋3y过点B时z取最大值，此时z＝24，点C的坐标为（3．5，1．5），过点C时取得最小值，但x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2），故所求的最小值为14，选B12．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()A．±2B．±2C．±22D．±4解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为yxa，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴||22a，∴a的值±2，选B．13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为1a、1b千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为2a、2b千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为1d、2d元．月初一次性购进本月用原料A、B各1c、2c千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zdxdy最大的数学模型中，约束条件为A．12112200axaycbxbycxyB．11122200axbycaxbycxyC．12112200axaycbxbycxyD．12112200axaycbxbycxy解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zdxdy最大的数学模型中，约束条件为12112200axaycbxbycxy，选C．14．（天津卷）设变量x、y满足约束条件632xyyxxy，则目标函数yxz2的最小值为（）A．2B．3C．4D．9CBAOyx解析：设变量x、y满足约束条件2,36yxxyyx在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数2zxy的最小值为3，选B．15．（浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组2,02,02xyxyx表示的平面区域的面积是A．24B．4C．22D．2【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的0,2B面积．解析：由题知可行域为ABC，42204ABCS，故选择B．16．(重庆卷)过坐标原点且与x2+y2+4x+2y+25=0相切的直线的方程为A．y=-3x或y=31xB．y=-3x或y=-31xC．y=-3x或y=-31xD．y=3x或y=31x解析：过坐标原点的直线为ykx，与圆2254202xyxy相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径102，则2|21|1021kk，解得1或33kk，∴切线方程为xyxy313或，选A．17．(重庆卷)以点（2，－1）为圆心且与直线3450xy相切的圆的方程为A．22(2)(1)3xyB．22(2)(1)3xyC．22(2)(1)9xyD．22(2)(1)3xy解：r＝22|32415|34－（－）＋＋＝3，故选C4,2A2,0C2x二、填空题（共18题）18．（北京卷）已知点(,)Pxy的坐标满足条件41xyyxx，点O为坐标原点，那么||PO的最小值等于_______,最大值等于____________．解：画出可行域，如图所示：易得A（2，2），OA＝22B（1，3），OB＝10，C（1，1），OC＝2，故|OP|的最大值为10，最小值为2．19．（福建卷）已知实数x、y满足1,1,yyx则2xy的最大值是____________．解析：已知实数x、y满足1,1,yyx在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴2xy的最大值是4．20．（湖北卷）已知直线5120xya与圆2220xxy相切，则a的值为．解：圆的方程可化为22(1)1xy，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得|5|1|5|1