高斯函数

精英班数学讲义1高斯函数一、知识概要1、定义：设xR，用x表示不超过x的最大整数。则yx称为高斯函数，也叫取整函数。显然，yx的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即01xxaa，因此，xx1x，这里，x为x的整数部分，而xxx为x的小数部分。2、性质1、函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当12xx时，有12xx；2、nxnx，其中nZ；3、11xxxx；4、若xyn，则,,xnaynb其中0,1ab；5、对于一切实数,xy有xyxy；6、若0,0xy，则xyxy；7、1xxx8、若nN，则xxnn；当1n时，xx；9、若整数,ab适合abqr（0,,bqr是整数，0rb），则aqb；10、x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有xn个；下面再来讨论高斯函数x的图像及x的图像和性质.对于函数xy,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数x的图像的基本性质和特征.(1)由xy的性质知x的图形在xy的图形的下方.(2)由xy的性质知x的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形.可见函数xy是一个不减(非单调)的非周期的函数,其图像如下(a)定理2设xxxf)(，则)(xf是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b).例1、方程[]1xx实数根的个数例2、函数()fx定义在R上，对任意xR,有(1)()fxfx，则函数()fx在R上是否为增函数，请说明理由。例3、作出函数为[sin]yx的图像.例4、定义函数,1,yxnnxnnN,若31522y，求实数x的取值范围。例5、已知na是首项为1，公比为q的等比数列，121231nnnnnnPaaCaCaC*(,2)nNn，2[]0242nnnnnnQCCCC，（其中[]t表示不超过t（x不是整数时）（x是整数时）()a()b精英班数学讲义2的最大整数，如[2.3]2），如果数列{}nnPQ有极限，求公比q的取值范围。例6、已知na是首项为0a的非常数等差数列，]2]22[240242[nnnnnnPaaCaCaC，1]1121]122[355132[nnnnnnnQCaaCaCaC，其中[]t表示不超过t的最大整数，如[2.3]2），求nnPQ例7、定义函数()[[]]fxxx,其中[]x表示不超过x的最大整数,如:[1.5]1[1.3]2，,当[0,)()xnnN时,设函数()fx的值域为A,记集合A中的元素个数为na；（1）求通项na；（2）求na的前n项的和nS；（3）求90nan的最小值。例8、解方程5615785xx例9、解方程333xx例10、解方程1142xx精英班数学讲义3高斯函数练习1、如果x为任意实数，用[]x表示不大于x的最大整数，例如：[7]7，，[3]1，则满足等式[]3x的x的范围是___[3,4)_________2、如果a为任意实数，用[]a表示不大于a的最大整数，例如[2.3]3，设,xy满足方程16]2[32][2yxyx，则[]xy________解：令1575xnnZ，则5715nx，带入原方程整理得：103940nn，由高斯函数的定义有10390140nn，解得：1133010n，则0,1nn。若0n，则715x；若1n，则45x。注：本例中方程为uv型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。2．若[x]=5，[y]=-3，[z]=-1,mj[x–y–z]可以取值的个数是（）A．3B．4C．5D．63．设[x]表示不超过x的最大整数，若M=][,][xNx，其中x≥1，则一定有（）A．MNB．M=NC．MND．以上答案都不对。4．给出下面三个命题：（1）[x+1]=[x]+1;（2）[x+y]=[x]+[y]（3）[x·y]=[x]·[y]其中正确命题的个数是（）A．0B．3C．1D．25．[x]表示取数x的整数部分，若)4][4][(uxuxy且当x=1,8,11,14时，y=1；x=2,5,12,15时，y=2；x=3,5,9,16时，y=3；x=4,7,10,13时，y=0，则表达式中u等于（）A．42xB．41xC．4xD．41x6．实数a,b满足关系式b=[a]+[a-2]–1和b=[a]+1的值一定是（）A．大于9而小于10B．大于或等于9而小于10C．大于9而小于或等于10D．整数7．设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（）A．[x]=|x|B．[x]≥2xC．[x]-xD．[x]x–18．记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且222]1)1([)1(nnnnIA．I0B．I0C．I=0D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现。