武忠祥教授高等数学考研第二三章

第二章导数与微分考试内容概要（一）导数与微分的概念1.导数的概念定义1(导数)xxfxxfxyxx)()(limlim0000000)()(lim)(0xxxfxfxfxxhxfhxfxfh)()(lim)(0000定义2(左导数)xxfxxfxyxx)()(limlim0000定义3(右导数)xxfxxfxyxx)()(limlim0000)(0xf)(0xf)(0xf定理1可导左右导数都存在且相等定义4(区间上可导及导函数)2.微分的概念)()(00xfxxfy)(xoxAy)0(x定义5（微分）如果可以表示为)(xf0xxAxAyd则称函数在点处可微,称为微分,记为)(xfy0x)(xf0x.d)()(d00xxfxxfy定理2函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导,且有3.导数与微分的几何意义)(0xf)(xfy))(,(00xfx1）导数的几何意义：导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率。切线方程).)(()(000xxxfxfy法线方程).()(1)(000xxxfxfydxxfdy)(0)(xfy2）微分的几何意义：微分在几何上表示的切线上的增量。曲线)()(00xfxxfydyy)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyoxxx0P4.连续,可导,可微之间的关系（二）导数公式及求导法则1.基本初等函数的导数公式0)(C1)(xxaaaxxln)(xxee)(axxaln1)(log1）2）3）4）5）xx1)(lnxxcos)(sinxxsin)(cos6)7)8)xx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc9)10)11）12）211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cot(xxarc13)14)15)16)2.求导法则(1)有理运算法则vuvu)()1vuvuuv)()2)0()()32vvvuvuvu（2）复合函数求导法：),(xu)(ufy)]([xfy)()(xufdxdududydxdy设可导，则可导，且（3）隐函数求导法：（4）反函数的导数；0),(yxFyxFFdxdy)(yx,0)(y)(xfy)(1)(yxfdydxdxdy1若可导,且则其反函数也可导，且（5）参数方程求导法：)(xyy,)()(tytx)(t设是由确定的函数，则（6）对数求导法：)(t)(t0)(t)()(ttdxdy1)若和都可导，且，则)(t)(t,0)(t)(1))()((22tttdtddxyd)()()()()(3ttttt2）若和二阶可导，且则（三）高阶导数1）定义6(高阶导数),])([)1()(xfynnxxfxxfxfnnxn)()(lim)(0)1(0)1(00)(00)1()1()()(lim0xxxfxfnnxx)(xfxnx)(xfn注：如果函数在点处阶可导,则在点邻域内必定具有一切低于阶的导数.的某);2sin(sin)(nxxn);2cos()(cos)(nxxn)()()()(nnnvuvu1)2)3）4）.)()(0)()(knnkkknnvuCuv2）常用的高阶导数公式：常考题型与典型例题1。导数定义；2。复合函数、隐函数、参数方程求导；3。高阶导数；1)(0xf.______)()2(lim000xxfxxfxx【例1】（1994年，数三，4分）已知，则【1】)(xf0x,0)0(f3320)(2)(limxxfxfxx).0(2f).0(f).0(f.0【例2】(2011年2,3）已知在处可导，且则（A）（B）（C）（D）)(xfy)1(yxexy.___________)1)1((limnfnn【例3】（2013年，1）设函数由方程确定，则]1[)(xfax)(xfax【例4】设在的某个邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是)]()1([limafhafhh)]()1([limafnafnn（A）存在；存在；hhafhafh2)()(lim0hhafafh)()(lim0（C）存在；存在；(B)(D)yyxe4tan)0,0(.________)2(xy【例5】（2011年3）曲线在点处的切线方程为,1ln,arctan2tytx1t.________【例6】(2013年2）曲线上对应于的点处的法线方程为)2ln214(yxe2,e),(2/.________)(2eyx【例7】(1997年,1）对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为)(xyyyeyx12._______022xdxyd)1(【例8】(2012年,2）设是由方程所确定的隐函数,则,cossin,sintttytxt.__________422tdxyd)2(【例9】(2013年1）设(为参数),则321xy.________)0()(ny]3!2)1([1nnnn【例10】(2007年2,3）设函数,则xxxf2)(20xn.___________)0()(nf【例11】(2015年2）函数在处的阶导数])2)(ln1([2nnn第三章微分中值定理与导数的应用考试内容概要定理2（罗尔定理）)(xf],[ba),(ba)()(bfaf),,(ba.0)(f设在上连续,在内可导,且那么至少使（一）微分中值定理定理1（费马引理）)(xf0x0x如果函数在处取得极值,且在处可导,那么.0)(0xf)(xf],[ba),(ba设在连续,可导,那么),(ba).()()(fabafbf至少存在一个,使)(),(xFxf],[ba),(ba设在连续,在内可导，0)(xF),(ba)()()()()()(FfaFbFafbf且那么至少存在一个，使定理3（拉格朗日中值定理）定理4（柯西中值定理）定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）)(xf0xn)()(!)())(()()(00)(000xRxxnxfxxxfxfxfnnn,)()(0nnxxxR)(0xx设在点阶可导,那么其中,00x若则得麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn定理6（拉格朗日型余项泰勒公式）)(xf0x1n),,(bax,设在含的区间阶可导,那么对至少存在一个使)()(!)())(()()(00)(000xRxxnxfxxxfxfxfnnn,)()!1()()(10)1(nnnxxnfxR0xx其中在与之间.内),(ba（二）导数应用1.洛必达法则);(0)(lim)(lim00xgxfxxxx)(xf)(xg0x;0)(xg)()(lim0xgxfxx2）和在的某去心邻域内可导,且3）存在（或);若1)则.)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx注：1）适用类型：.0;;1;;0;;000000010,002.函数的单调性),(ba,0)(xf)(xf],[ba1）若在内则在上单调增；),(ba,0)(xf)(xf],[ba2）若在内则在上单调减；)(xf],[ba),(ba定理7设在上连续,在内可导。3.函数的极值0),(0xUx)()(0xfxf)(xf0x定义（极值）若，使得恒有，则称在取极小值.),(0xUx)()(0xfxf)(xf0x恒有，则称在取极大值.定理8（极值的必要条件）)(xf0x0x0)(0xf若在处取得极值，且在处可导，则定理9（极值的第一充分条件）)(xf),(0xU0)(0xf设在内可导,且0xx;0)(xf0xx,0)(xff（1）若时，时，则在处取极大值.0x0xx;0)(xf0xx,0)(xff0x（2）若时，时，则在处取极小值.)(xf0xf0x（3）若在的两侧不变号，则在无极值.)(xf（或0x处连续）在定理10（极值的第二充分条件）设0)(,0)(00xfxf)(,0)(0xfxf0x（1）当在处取极大值.)(,0)(0xfxf0x（2）当在处取极小值.4.函数的最大最小值1)定义2)方法5.曲线的凹凸性定义3I0(xf)0()(xfyI定理11若在区间上，则曲线在上是凹（凸）的。定义4（拐点）判定（必要条件与充分条件）6.曲线的渐近线Axfx)(lim(Axfx)(limAxfx)(limAy1)若,或）那么是曲线的水平渐近线.)(xfy2)()()2(2121xfxfxxf2)()()2(2121xfxfxxf凹凸,)(lim,)(limaxxfbaxxfxxbaxy)(xfy3)若那么是的斜渐近线.8.曲线的弧微分与曲率(数三不要求）曲率23)1(||2yyK（直角）2/322)(||yxxyxyK（参数）曲率半径KR1)(lim0xfxx0xx)(xfy2)若,那么是的垂直渐近线.7.函数的作图常考题型常考题型与典型例题1.求极限；2.求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点；3.求渐近线；4.方程的根；5.不等式的证明；6.中值定理证明题一.求极限0x6~sin3xxx3~tan3xxx6~arcsin3xxx3~arctan3xxx2~)1ln(2xxx【例1】试证当时，【例2】(2008年1,2）求极限.sin)]sin(sin[sinlim40xxxxx.11lnlim2xxxx)21(【例3】（1994年3）求极限.【例4】（2013年1）,arctanlim0cxxxkx,0c已知极限为常数，且则（A）.21,2ck（B）.21,2ck（C）.31,3ck（D）.31,3ckck,其中0xaxxxfsin)()1ln()(2bxxxg61,1ba61,1ba61,1ba61,1ba【例5】(2009年1,2,3）时，与是等价无穷小,则（B）（C）（D）当（A）0xxxxf3sinsin3)(kcx.4,1ck【例6】（2011年2,3）已知当与是等价无穷小，则（A）.4,1ck（B）.4,3ck（C）.4,3ck（D）函数【例7】(2012年3）求极限.lim4cos2202xeexxx]121[.2tan)1(lim21xxx]4[【例8】（1988年3）求极限.)1ln(lim110xexxx]1[e【例9】(2011年1)求极限.sin22coslim410xxxxx)(31e【例10】(2016年2,3)求极限)(xf2)0(,1)0(,0)0(fff20)(limxxxfx【例11】设二阶可导.求极限.二．求函数的极值和最值及确定曲线的凹向和