大学物理《刚体的定轴转动》课件

定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即FrMM的方向垂直于r和F所决定的平面，指向用右手法则确定。yzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFM在直角坐标系中，表示式为1力矩一质点的角动量2-5角动量角动量守恒定律rFMsinrF注意：1.为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对应的位矢不同。物体所受的力矩不同。rr3.如果力的方向始终指向一个固定点，则该力就称为有心力，该固定点称为这个力的力心。F受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。2.何时为零？Ma.0Fc.受到有心力作用b.力的作用线与轴相交2质点的角动量定理FrMdtPdFPdtrdPrdtddtPdrM)(vmPvdtrd0vmvPdtrd)(PrdtdM定义：PrL——角动量dtLdM——角动量定理作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。00dttMtLL0dttMt叫冲量矩的方向符合右手法则.LvmrLz角动量PrL1.sinmvrLvmrprL2.质点在垂直于z轴平面上以角速度作半径为的圆运动，相对圆心rsinvrmL大小rzvmo90A2mrrmLv（圆运动）oPdd3.质量为m的汽车,以速率v沿直线运动,求它对O点的角动量为多少?对P点的角动量为多少?mvoPddoPddoPdd0PLmvdLO求角动量时必须先指明参考点!三质点角动量守恒定律若，则0MLrm常数v质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。何时为零？Ma.0Fc.受到有心力作用b.力的作用线与轴相交注意：讨论：以下各系统哪些量守恒？FF机械能守恒，动量不守恒机械能守恒，动量也守恒机械能不守恒，动量守恒动量不守恒，角动量守恒2.匀速圆周运动的质点受到向心力的作用，所以其角动量一定守恒。rvmrvmLLO’OFF用绳系一质量为m小球使之在光滑的桌面上作圆周运动，球的速率vo，半径为ro。问：当缓慢拉下绳的另一端，圆的半径变为r时，小球的速率v是多少？解：因为通过转轴的合力矩为零，所以小球的角动量守恒vmrvmroooovrrvrovoFZL刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动.刚体平动质点运动平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.一刚体定轴转动的描述2-6刚体的定轴转动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+刚体的定轴转动刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同,根据这一特点,常取垂直于转轴的平面为参考系,这个平面称转动平面。虽然刚体上各质元的线速度、加速度一般是不同的，但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一样的。因此描述刚体的运动时,用角量最为方便。转动平面OviΔmi转轴ZriＰ转轴二质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理11d()()dnijiiiiijrFfrmt外v设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为11njjiifF＋外则i质点对固定点o的角动量定理为1111d()dnnnniijiiiiiiijirFrfrmt外v一对内力的力矩之和：OirjrijrjifjiiijiijijfrfrM'jiijijfrfrjiijfrr)(jiijfr0由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零11d()dnniiiiiiirFrmt外v作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量对时间的变化率，这就是质点系对固定点的角动量定理。内力不改变系统的总角动量！注意：FF⊥F//当我们用力F推门时，该力可以分解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴方向的力，平行于门轴方向的力对门的转动是否起作用？问题:oiφiriFi⊥ｒiZiioFriMiZioiioFrFriiZiiiioFrFrFriZMiiFrΦi表示Fi⊥与ri的夹角iZMiiiFrsin垂直于Z轴垂直于Z轴iZZMMiiiFrsin3.整个刚体受合外力矩沿Z轴的分量：iZiiorrriZiiFFFｒioOωZpFiFiZriviΔmiＰｒioｒiZ第i个质点对O点角动量iiioivmrLiZiiorrriiiZiiiivmrvmrL垂直于Z轴平行于Z轴OωZoi2、质点系对轴的角动量定理d(sin)diziiiiMrmtv质点系对z轴的角动量定理为质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆周运动，则这时2d[()]diziiMmrt)(iiimrdtdv2iiJmr令转动惯量ddddzizLMJtt式中Lz＝Jω，即为质点系对z轴的角动量的表示式。也适用于刚体系统。——刚体转动时惯性大小的量度ddizMJJt绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.ddizMJJt三刚体的转动定律小贴士：刚体转动定律在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位，且由此可以看出，定轴转动中的转动惯量相当于质点力学中的质量，都是惯性大小的量度。转动惯量的计算转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）对于单个质点2Jmr质点系2iiJmr22ddmmJrmrV若物体质量连续分布解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直22dddJxmxx例2.18如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直.mlddmx22221dd12llJjxxml整个棒对中心轴的转动惯量为(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为2201d3lJxxml由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.解(1)在环上任取一质元，其质量为dm，距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为2ddJRm例2.19设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为222dddmmJJRmRmmRRoZdrr(2)设圆盘单位面积上的质量为σ在圆盘上取半径为r，宽为dr的圆环，该圆环质量：rdrdsdm2dmrJ2rdrrR202221mR2Rm圆盘转动惯量为讨论：⑴转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度;⑵转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关：质量分布离轴越远，转动惯量越大。⑶转动惯量具有迭加性;如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3,则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3同一刚体,转轴不同,质量对转轴的分布不同,因而转动惯量不同。即转动惯量具有相对性。竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？五刚体组对轴的角动量定理及其守恒定律000()ddtLizztLMtLJJ定轴转动刚体的角动量增量等于合外力矩的冲量矩.JLzttzzLdtM00d()ttMtJ外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒.0izM若00JJ则1.角动量守恒有两种情况:注意:2.角动量守恒定律与动量守恒定律、能量守恒定律一样都是自然界的规律。一是转动惯量与角速度都不变;二是两者都变但二者的乘积不变。一、转动惯量与角速度都不变;一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩(对该转轴而言)为零时,它将保持原有的角速度不变。该定理反映了任何转动物体都有转动惯性。——刚体转动的第一定律:二、两者都变但二者的乘积不变。花样滑冰跳水中的角动量守恒现象对于刚体组：四定轴转动的动能定理2222211111()222nnkiiiiiiEmrmrJ刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半.1、转动动能类比质点力学中动能（平动动能）：221vmEkddddiiiiiiAFsFrMd()ddiAMM21dAM力矩的功2、力矩的功类比质点力学中外力的功：bardFA3、刚体定轴转动的动能定理ddddddddMJJJJtt合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.2211ddMJ类比质点力学中动能定理：2022121mvmvrdFba2022121JJm4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能mygEPdmygdmmymgdcmgyydmycC一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。结论：XYOz5、刚体系统的功能原理A外力+A非保守内力=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）222121JmvEckcpmgyE当含刚体的系统在运动过程中只有保守力内力做功时,在该过程中系统机械能守恒。速度trddv角速度tdd加速度tvdda角加速度tdd质量m转动惯量mrJd2角动量JL动量vmP力F力矩M质点运动与刚体定轴转动对照质点运动刚体定轴转动位移rd角位移d质点运动与刚体定轴转动对照质点运动刚体定轴转动amFJMMiz00PPdtFtt00LLMdtttbardFAbaMdA221vmEk221JEk0F当时，0PP当时，0M0LL01()mmMvv例2.16在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速垂直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长，子弹击中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度.0v0l2v解击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿方向动量守恒，即有0v在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒222120111(mM)(mM)()222kllvv在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设与OB方向成θ角，则有2v012(mM)(mM)sinllvv2220202k()m(mM)mMllvv0022200marcsinmk()(mM)llllvv例质量很小长度为l的均匀细杆,可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率垂直落在距点O为l/4处,并背离点O向细杆的端点A爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0v解:碰撞前后系统角动量守恒220)4(1214lmmllmvl7120vl0712v角动量定理tJtJt