中考经典数学综合题研究

综合性问题综合性问题一、知识网络图（如下图所示）二、基础知识整理本部分知识是中考的重点内容，一道试题同时考查多个重要知识点（含常用数学思想方法）或多学科的知识已成为近几年中考命题的一大特色，压轴题更是以综合性面孔出现.综合性问题的题型以多种形式出现，以考查综合素质和创新能力为目标，与应用性问题、开放性问题“联姻”者也不少，从北京命题来看一般不会出现繁、难、偏的试题，所用知识以重点知识为主，而不会过分追求覆盖率，人为地刻意编造难题.他的难度一方面表现在要求学生各部分知识不能有薄弱环节甚至漏洞，学生知识系统性强；另一方面表现在，题目结构的综合表现，令人或不知如何下手而裹足不前，或只看到一个熟悉的局部，就贸然前进，陷入困境不能自拔。其中，考查的重点是代数（通常为函数、方程）与几何相综合的知识.难点是不同知识之间的联系与转化.解题时，几乎用到初中涉及到的所有数学思想方法：方程与函数、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想，待定系数法、构造法、极端法等都经常用到.1、代数综合题代数综合题，主要以方程，函数这两部分知识为重点（通常在23题），因此牢牢的掌握方程与不等式的解法，一元二次方程的解法和判别式，函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识是解好代数综合问题的关键。在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口。2、几何综合题以几何为主的综合题常研究以下几个方面的问题：（1）证明线段和角的数量关系（包括相等，和差倍分关系及比例关系等）（2）证明图形的位置关系（如点与线，线与线，线与圆，圆与圆等）（3）几何计算问题（4）动态几何问题等等在解几何综合题时，常常需要画图并分解其中的基本图形，挖掘其中的等量关系。另外，也要注意数形结合，方程，分类讨论，转化等数学方法来解决问题。有时借助变换的观点也能帮助我们更有效的找到解决问题的思路。3、代数与几何的综合题代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式，方程与不等式，函数，几何中综合性问题函数与方程的综合题代数综合题全等相似及几何变换的综合题几何综合题代数几何综合题函数与几何综合题综合性问题ABCDEP的三角形，四边形，圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法，图形的变换，相似内容等有机的结合在一起，同时也融入了开放性，探究性等问题，如探究条件，探究结论，探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题，以及运动过程中求解析式问题等。解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析挖掘隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三要善于联想和转化，将以上得到的显性条件逐个进行恰当组合，进一步得到新的结论。尤其注意的是，恰当的使用综合法及分析法及方程与函数的思想，转化思想，数形结合思想，分类思想能更有效的解决问题。三．具体教学想法：一．数学的灵魂是数学思想方法，最终沉淀在学生思维里的就是数学素养加强数学思想方法的教学是提高学生解题能力的重要途径之一，这应该渗透在每天的教学中。给学生提供典型例题，加以方法对比，归纳和分析，是一种有效的教学方式。数形结合：形—好算不好想数—好想不好算以下举几个例题：1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＜AC，若214BCACAB，则∠A=°（09西城一模）2．若m、n（mn）是关于x的方程1()()0xaxb的两根，且ab，（09西城一模）则a、b、m、n的大小关系是A.mabnB.amnbC.ambnD.manb3.如图,梯形ABCD中,BC//AD,90BAD,AD=18,BC=24,AB=m.在线段BC上任取一点P,连结DP,作射线DPPE,PE与直线AB交于点E.(1)当CP=6时,试确定点E的位置;(2)若设CP=x,BE=y,写出y关于x的函数关系式;(3)在线段BC上能否存在不同的两点21PP、使得按上述作法得到的点E都分别与点A重合,若能,试求出此时m的取值范围，若不能,请说明理由.4．正方形5．利用图像求方程不等式的解6．09中考23题综合性问题7．三角形ABC中，角ACB=60度，分别以各边为边长作等边三角形，求证三角形ABC与ABD的面积和等于三角形BCE与ACF的面积和二．引导学生归纳具体常见问题，力争知识形成体系和模块存在性问题动点使之构成等腰，梯形，平行四边形，或满足其它一定条件最值问题需要画圆解决的问题（找等腰，08西城二模23，10海淀期末25）最值问题常见分类问题（中考必须有）常见辅助线添加…….例题部分三．一题多解，多解归一，旧题新解1．正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD中点，BF和AE相交于点O,求证OD=ABOFECBDA2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，连结CD。求证：CE=21CDEDFBCA综合性问题一．代数综合问题1.(2009洛江)我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元∕件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示关系．（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；（2）①试求出y与x之间的函数关系式；②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。2．已知:关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；（2）求代数式akcabbkc22)(的值；（3）求证:关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根.（09西城第一学期期末23题与该题类似）该题主要是对这《中考说明》一元二次方程解法，C级要求说的：能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程解的情况，确定方程中系数的取值范围，会用配方法对代数式作简单的变形3．已知:关于x的一元二次方程0222mnmxmnx)(①.（1）求证:方程①有两个实数根;（2）若m-n-1=0,求证方程①有一个实数根为1;（3）在（2）的条件下,设方程①的另一个根为a.当x=2时,关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a(n-2m)x+m2-mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与y1、y2的图象分别交于点C、D.当l沿AB由点A平移到点B时，求CD的最大值.4．已知双曲线kyx与直线14yx相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A4m-21yO2-1-331234-1-2-3综合性问题点左侧）是双曲线kyx上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线kyx于点E，交BD于点C．（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．5．已知二次函数)0(21acbxaxy的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，23）。（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）（2）若反比例函数)0(22xxy图像与二次函数)0(21acbxaxy的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）,x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）（3）若反比例函数)0,0(2xkxky的图像与二次函数)0(21acbxaxy的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为0x满足20x3，试求实数k的取值范围。（5分）3．如图，一次函数ykxb的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于AB，两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，5OB．且点B横坐标是点B纵坐标的2倍．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A横坐标为m，ABO△面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围．（第28题）yO·ADxBCENM·OxyACDB（21题图）综合性问题4.已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.以几何为主的综合问题1．我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．（08朝阳一模）(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：________．(2)如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O．求证：AD2＋BC2＝AB2＋DC2，即四边形ABCD是等平方和四边形．第23题图①(3)如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转角(0°＜＜90°)后得到图②，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形?若能，请证明；若不能，请说明理由．综合性问题第23题图②2．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。（07北京）（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A。请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。旋转与几何（一节专题课）旋转对称平移三大变换，在综合题中各有各的呈现形式。旋转的关键是有两个有公共端点且顶角相等的等腰三角形。旋转只是一种思维方式，一种看问题的高度，一般解体过程中不出现旋转说法。旋转想，全等证1．作图发现：(1)120ABC做出其绕点B逆时针旋转60的图象(2)绕点A顺时针旋转90ABCCABBOADEC综合性问题(3)绕点C顺时针旋转1802识别旋转例1.如图，P正方形ABCD的BC边上一点.以PA为一边作正方形AEFP,连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BH练习1在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BCD=90,且AB=1,BC=2，tan∠ADC=2;对角线相交于O点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转。当三角板旋转到如图的位置时，猜想DE与BF的数量关系，并加以证明。3.构造旋转例2．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC，．若60ABCBEF，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值．CBAHFEDACBP综合性问题小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．解：（1）线段PG与PC的位置关系是；PGPC．（2）练习2．（2007辽宁十二市第25题）如图，已知等边三