11.2.1三角形的内角

11.2.1三角形的内角歙县绍濂中学2019年9月7日11.2.1三角形的内角学习目标1.阐述并验证三角形内角和定理.（难点）2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.（重点）3.会运用三角形内角和定理进行计算.（重点）导入新课在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争三兄弟的和应为180度！三角形两边的夹角叫做三角形的内角.ABC讲授新课三角形内角和定理如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?30°+60°+90°=180°45°+45°+90°=180°ABC问题：这个三角形呢？三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢?拼图探索想一想从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?180°llACBACBCBA思考：直线l与边BC有什么关系?思考：直线l与边AB有什么关系?验证结论三角形三个内角的和等于180°.F21ECBA求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.ACBCB证明：过点A作EF∥BC，∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.想一想同学们还有其他的方法吗？证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12证法3：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等).∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠B+∠C+∠BAC=180°.CBAE知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.12在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是三角形.练一练①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=.③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A=，∠B=，∠C=.102°直角60°50°70°北.AD北.CB.东E例2如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°,答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.北.AD北.CB.东E问题1在△ABC中，若∠C=90°，你能求出∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A+∠B的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的性质与判定直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．例3如图，∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.问题2在△ABC中，∠A+∠B=90°，∠C等于多少度？你用了什么知识解决的?你能得出什么结论？ABC∠C=90°三角形内角和定理.应用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．结论：有两个角互余的三角形是直角三角形．例4如图，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ACBDE12解：在Rt△ABC中，∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2,∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.当堂练习1.说出下列各图中的x值．4070xx°x°x°2x°x°25°45°20°x°x=70x=60x=30x=502.填空（1）一个三角形最多有个直角，因为；（2）一个三角形最多有个钝角，因为；（3）一个三角形至少有个锐角，因为.（4）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为。112三角形内角和等于180°三角形内角和等于180°三角形内角和等于180°3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°280°60º4.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O．变式1若∠A=80°，则∠BOC=．变式2若∠A=100°，则∠BOC=．变式3你能直接写出∠BOC与∠A之间的数量关系吗？ABCOED130°12∠BOC=90°+∠A.140°能课堂小结三角形的内角三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180°直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两锐角互余判定两角互余的三角形是直角三角形②小明不小心将镜框上的一块三角形玻璃摔成了两半，玻璃裂成了两块。一块只有原来的一个角，另一块有原来的两个角。他想重新买一块玻璃安上，小明非常聪明，只带了其中的一块到玻璃店去，就配到了和原来一模一样的玻璃了。你知道他带的是哪一块吗？拓展训练①②小结拓展知识的升华你能根据自己的知识求出四边形和正六边形的内角和吗？4个三角形：180°×4＝720°两个三角形：180°×2＝360°