中职教育-数学(基础模块)下册--第七章--平面向量.ppt

数学（基础模块）下册第七章平面向量平面向量是一种既有大小、又有方向的量，它的应用非常广泛．例如，汽车从A点出发向东行驶3km到达B点，再向南行驶4km到达C点，如图所示．此时若要描述汽车与A点的位置关系，不仅需要给出汽车与A点之间的距离，还需要指明汽车相对A点的方向．这就需要大家了解平面向量的知识．•平面向量的概念7.1•平面向量的线性运算7.2•平面向量的坐标表示7.3•平面向量的内积7.47.1平面向量的概念标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等；向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．规定：模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的．模为1的向量称为单位向量．如图所示，规定了起点和终点的线段称为有向线段，记作，其箭头由A指向B，A称为起点，B称为终点．AB→向量的大小称为向量的模，记作．ABa→，，→a例题解析例1一辆汽车从A处向正北方向行驶100m，另一辆汽车从A处向正东方向行驶100m，请问两辆汽车的位移相同吗？分别用有向线段表示两辆汽车的位移．解位移是向量，它包括大小和方向两个要素．本题中，虽然这两个向量的模相等，但它们的方向不同，所以，两辆汽车的位移不相同．如图所示为用有向线段表示两辆汽车的位移．规定：零向量与任何一个向量平行．方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作．∥ab如图所示，向量平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出，．也就是说，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量又称为共线向量．，，abcOAOB，→→abOC→c模相等且方向相同的向量称为相等向量．向量a与b相等记作ab．与向量a的模相等，且方向相反的向量称为向量a的负向量，记作a．显然，()ABBA，→→aa．规定：零向量的负向量仍为零向量．例题解析例2在图所示向量中，找出：（1）平行向量；（2）模相等的向量；（3）相等向量；（4）互为负向量的向量．解（1）平行向量为．（2）模相等的向量为．（3）相等向量为．（4）互为负向量的向量为．ABCDBCDEGH∥，∥∥→→→→→ABCDBCDEGHEFFG，，→→→→→→→ABCDDEGH，→→→→BCDEBCGH，→→→→7.2平面向量的线性运算7.2.1平面向量的加法如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点走到C点，则他的最终位移可以看作是位移与的和．AC→AB→BC→如右图所示，已知向量a与b，在平面内任取一点O，作，，则向量称为向量a与b的和，记作，即OA→aAB→bOB→abOAABOB．→→→ab根据三角形法则进行向量a与b的加法运算，其结果仍然是向量，称为a与b的和向量．和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点．求向量和的运算称为向量的加法．上述求向量和的方法称为向量加法的三角形法则．例题解析例1如图所示，已知向量，分别作出向量．，abab（a）（b）（c）解在平面内任取一点O，作，，则，如图所示．OA→aAB→bOB→ab（a）（b）（c）如图所示，ABCD为平行四边形，由于，则根据三角形法则可得ADBC→→ABADABBCAC．→→→→→可以看出，在平行四边形ABCD中，所表示的向量即为与的和．这种求和的方法称为向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量．AC→AB→AD→向量的加法具有以下性质：()000，aaaaaabba()()abcabc例题解析例2一艘船以4km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，已知河水的水流速度为3km/h，求该船的实际航行速度．解如图所示，设表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，表示水流的速度．由向量加法的平行四边形法则可知，就是船的实际航行速度．根据题意可得2222435ACADAB．→→→因为4tan3CAB所以53CAB°．故船的实际航行速度大小为5km/h，方向与水流方向的夹角约为53°．7.2.2平面向量的减法向量a加上向量b的负向量称为向量a与b的差，记作，即ab()．abab求向量差的运算称为向量的减法．如图所示，已知向量a与b，在平面内任取一点O，作，则向量即为向量a与b的差，即OAOB，→→abBA→OAOBBA．→→→abab起点相同的两个向量a与b，其差仍然是一个向量，称为a与b的差向量．差向量的起点是向量b的终点，终点是向量a的终点．例题解析例3如图（a）所示，已知向量c与d，求作差向量．cd（a）（b）解如图（b）所示，在平面内任取一点O，作，则OCOD，→→cdDC→cd例4如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，且，试用a和b表示向量．OAOB，→→abOCODABBC，，，→→→→解OCOD，→→ab()ABBC，．→→baab7.2.3平面向量的数乘运算如图所示，已知非零向量a，和，可以看出，向量a与向量，共线，且．OA→OB→22OAOB，→→aaOA→OB→一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为λλ．aa当时，λa的方向与a的方向相同；当时，λa的方向与a的方向相反；当时，．0λ0λ0λ0λa数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算．可以验证，对于任意向量及任意实数，向量的数乘运算满足如下法则：，abλμ，1(1)，aaaa()()()λμλμμλaaa()λμλμaaa()λλλabab例题解析例5如图所示，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，若，试用a和b表示向量．ABAD，→→abOAOBOCOD，，，→→→→解因为ACABAD→→→ab所以11()22OAAC→→ab11()22OCAC→→ab因为BDADAB→→→ba所以111()()222OBBD→→baab11()22ODBD→→ba例6计算下列各式．（1）；3()2()ababa（2）；(3)2a2()(4)abcabc（3）．3()2()33225ababaababab解（1）．(3)26aa（2）．2()(4)abcabc（3）222463abcabcabc我们将称为的一个线性组合（均为系数）．如果，则称l可以用线性表示．λμabλμlab，abλμ，，ab向量的加法、减法、数乘运算都称为向量的线性运算．例5中，等都称为向量线性组合，或者说，等可以用向量线性表示．11()()22，ababOAOC，→→，ab，ab7.3平面向量的坐标表示7.3.1平面向量的直角坐标在平面直角坐标系中，每一个平面向量也都可以用一对实数来表示．如图7-21所示，在平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i，y轴的单位向量为j．OA→为从原点出发的向量，点A的坐标为(43)，，则43OBOC，．→→ij根据平行四边形法则可知43OAOBOC．→→→ij故向量OA→可以用实数对(43)，来表示，记作(43)OA，→．对任一个平面向量a，都存在着一对实数()xy，，使得xy．aij实数对()xy，称为向量a的直角坐标，简称为向量的坐标，记作()xy，．a如图（a）所示，起点为原点，终点为()Pxy，的向量的坐标为()OPxy，．→如图（b）所示，起点为11()Axy，，终点为22()Bxy，的向量的坐标为2121()ABxxyy，．→例题解析例1如图7-23所示，，ij分别为x轴、y轴上的单位向量．试用，ij来表示向量OMONMN，，→→→，并写出它们的坐标．解6435OMON，，→→ijij它们的坐标分别为(64)(35)OMON，，，．→→因为(35)(64)9MNONOM．→→→ijijij所以它的坐标为(91)MN，．→例2已知点(16)(23)AB，，，，求ABBA，→→的坐标．解(23)(16)(39)AB，，，，→(16)(23)(39)BA，，，．→在平面直角坐标系中，设1122()()xyxy，，，ab，则7.3.2向量线性运算的坐标表示1122()()xyxyabijij1212()()xxyy．ij所以122()xxyy１，．ab类似可得122()xxyy１，，ab1()λλxλy１，．a例题解析例3设(12)(53)，，，ab，求23，，ababab．解(12)(53)(45)，，，，ab(12)(53)(61)，，，，ab32(12)3(53)(24)(159)(175)，，，，，．2ab设1122()()xyxy，，，ab，若a与b平行，则有λab，用坐标表示为1122()()xyλxy，，，即1212xλxyλy，，于是1221xλyλxy，消去λ，得12210xyxy．所以，12210λxyxy∥．abab7.3.3共线向量的坐标表示例4已知(2)(36)y，，，ab，且∥ab，求y．解例题解析由∥ab，可得(2)6(3)0y，所以，4y．7.4平面向量的内积如左图所示，如果一个物体在力F的作用下发生位移s，那么力F所做的功为cosWθFs．这表明，力F所做的功等于力F的大小、位移s的大小及力F与位移s夹角的余弦的乘积．7.4.1平面向量的内积如右图所示，设有两个非零向量，ab，作OAOB，→→ab，则(0180)AOBθθ°°剟称为向量，ab的夹角．显然，当0θ°时，a与b同向；当180θ°时，a与b反向；当90θ°时，a与b垂直，记作ab．我们将cosθab称为向量，ab的内积（或数量积），记作ab，即cosθ．abab由向量内积的定义可以得出以下结论：（1）0000，aa；（2），ab同向时，abab；，ab反向时，abab；（3）当ab时，有ab；反之，当ab时，有ab．因此，abab；（4）2aaa，即aaa．（1）abba；（2）λλabab；（3）abcacbc．向量的内积满足下面的运算律：例1已知，，ab，ab的夹角θ为60°，求(2)(2)abab．解例题解析(2)(2)232ababaaabbb2223cos2θaabb2224343cos6023°4．所以，30θ°．33cos22θ，abab解因例2已知3，abab，求，ab的夹角θ．已知两个非零向量1122()()xyxy，，，ab，，ij分别为x轴、y轴上的单位向量，因为，，iijjij，所以7.4.2向量内积的坐标表示1122()()xyxyabijij12122112xxxyxyyyiiijijjj1212xxyy．也就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和，即1212xxyy．ab（1）12120xxyyabab；（2）如果()xy，a，则22xya；（3）121222221122cosxxyyθxyxyabab．由此还容易得出以下结论：例3已知(32)(45)，，，ab，求ab．解．ab例4已知(31)(230)，，，ab，求a与b的夹角θ．2222323103cos2(3)1(23)0θ，所以，30θ°．解因例题解析例5已知