2020中考专题9——最值问题之胡不归

[南瓜讲数学]系列之中考专题12020中考专题9——最值问题之胡不归班级姓名.【模型解析】◆条件：A、B为定点，P为射线AC上一个动点◆问题：点P在何处，APmnBP（1mn）最短。◆方法：第一步.在AC的一侧，PB的异侧，构造∠CAE=,使得mnsin;第二步.作BH⊥AE于点E，交AC于点P,此时点P就是所求位置，BH就是APmnBP的最小值.【例题分析】例1.【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝aCDaAD2，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得2CDAD的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：2CDDE；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′，并说明理由．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．【模型运用】（4）如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB＝300m，BC＝300m．救生员在C点处发现标志A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到达A处的最短时间．[南瓜讲数学]系列之中考专题22.（2019•南通）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+23PD的最小值等于．例2图例3图例3.（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【巩固训练】1.(2018台州仙居县一模）如图1，菱形ABCD中，∠ABC＝60°,边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则PCBP21的最小值是（）A.3B.233C.3D.23433图1图2图32.（2015无锡二模）如图2，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC=150°,则求PA+PB+PD的最小值为.3.如图3,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,22),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐[南瓜讲数学]系列之中考专题3标应为()A.(0,22)B.(0,22)C.(0,32)D.(0,42)4.如图4，抛物线322xxy与x轴交于A,B两点，过点B的直线交抛物线于E,且tan∠EBA=34，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是。图4图55.（2015内江）如图5，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，则21CD+OD的最小值为．6.在∆ABC中，BC=2,∠B=30°，求2AC+AB的最小值。7.(2016徐州）如图7所示，在平面直角坐标系中，二次函数cbxaxy2的图象经过点A(-1,0)、B（0,-3)、C(2,0)，其对称轴与x轴交于点D。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标。（2）若P为y轴上的一动点，连接PD，则PDPB21的最小值为_____。图7[南瓜讲数学]系列之中考专题48.（2015日照）如图8，抛物线y=21x2+mx+n与直线y=-21x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠BAC的值；（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？图89.(2017广州中考）如图9，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形是ΔCED。(1)求证：四边形OCED是菱形。(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm。①求sin∠EAD的值。②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动。当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间。图9[南瓜讲数学]系列之中考专题52020中考专题9——最值问题之胡不归答案例1.解：（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，∴在Rt△BCM中，DE＝CD•sin30°，∴DE＝．（2）如图①过点A作AE⊥CM交CB于点D'，则D'点即为所用时间最短的登陆点．理由如下：由第（1）问可知，D'E'＝．AD'+最短，即为AD'+D'E′最短．由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短．可知此时D'点即为所求．（3）如图②，过点C做射线CM，使得sin∠BCM＝n1，过点A作AE⊥CM，垂足为E，交CB于点D，则D即为所用时间最短的登陆点．（4）∵救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，∴此时sin∠BCM＝，可得sin∠DAB＝，∴在Rt△ADB中，AB＝300，AD＝225，DB＝75，CD＝300﹣75．∴时间为+＝（50+100）s．例2.解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝∴EP＝PD[南瓜讲数学]系列之中考专题6∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3故答案为3例3.解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．【巩固训练】答案1.解：如图作PM⊥AB于M，CH⊥AB于H．[南瓜讲数学]系列之中考专题7∵四边形ABCD是菱形，∴∠PBM＝∠ABC＝30°，∴PM＝PB，∴PB+PC＝PC+PM，根据垂线段最短可知，CP+PM的最小值为CH的长，在Rt△CBH中，CH＝BC•sin60°＝，∴PB+PC的最小值为，故选：B．2.263.D4.9645.326.327.【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．故答案为．8.解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得：．[南瓜讲数学]系列之中考专题8∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（2）如图,过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴lAC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入lAC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．9.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．∴OD＝OB＝OC＝OA，∵△EDC和△ODC关于CD对称，∴DE＝DO，CE＝CO，∴DE＝EC＝CO＝OD，∴四边形CODE是菱形．（2）①设AE交CD于K．∵四边形CODE是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，∴＝＝∵AB＝CD＝6，∴DK＝2，CK＝4，在Rt△ADK中，AK＝＝＝3，∴sin∠DAE＝＝，[南瓜讲数学]系列之中考专题9②作PF⊥AD于F．易知PF＝AP•sin∠DAE＝AP，∵点Q的运动时间t＝+＝OP+AP＝OP+PF，∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，∴OF＝CD＝3．AF＝AD＝，PF＝DK＝1，∴AP＝＝，∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s．