2020中考专题10——最值问题之阿氏圆

[南瓜讲数学]系列之中考专题12020中考专题10——最值问题之阿氏圆班级姓名.【模型解析】“阿氏圆”模型---“PBkPA”型最值◆条件：A、B为定点,P为⊙O上一个动点,kOBOP(10k).◆问题:求PBkPA的最小值,并画出点P的位置.◆方法：连接OP,OB.在OB上取点C,使kOPOC.易证得△POC∽△BOP,所以kOBOPPBCP,所以PBkCP.所以ACCPPAPBkPA,当P为AC与⊙O的交点时，PBkPA的最小值为AC.【例题分析】例1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，满足CD=2，求AD+32BD的最小值。例2.问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+12BP的最小值.P[南瓜讲数学]系列之中考专题2尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有12CDCPCPCB，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD≌△BCP，12PDBP，∴PD=12BP，∴AP+12BP=AP+PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为.自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP+BP的最小值为.拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.【巩固训练】1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+21BP最小值为。图1图2图32.如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+22PC的最小值是。3.如图3，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求PC+21PD的最小值为。[南瓜讲数学]系列之中考专题34.如图4，已知圆O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点试求22PC+PD的最小值。图45.如图5，已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，试求21AP+BP的最小值。图56.如图6，已知点A（-3，0）,B（0,3），C（1，0），若点P为圆C上的一点，试求：（1）41AP+BP的最小值；（2）PABS的最小值.图6[南瓜讲数学]系列之中考专题47.如图7，抛物线cbxxy2与直线AB交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线AC：621xy交y轴于点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G（1）求抛物线cbxxy2的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求21AM+CM的最小值。图7[南瓜讲数学]系列之中考专题52020中考专题10——最值问题之阿氏圆参考答案例1.分析：由C为定点D为动点可知CD的运动轨迹为以C为圆心半径为2的圆。此时32CBCD,符合所需要寻找的比值k，在构造母子型相似根据比例求出需要截取的长度即可，在CB上截取CM使得CM=34，由相似可知32BD=MD，所要求解的AD+32BD转化为求AD+MD的长度，根据两点之间线段最短，即当M、D、A三点共线时最短，即可求出所求。解：在CB上截取CM使得CM=34，∵32CBCD，32234CDCM，∠DCM=∠BCD∴△DCM∽△BCD∴32BDMDCBCD，即MD=32BD∴AD+32BD=AD+MD，根据两点之间线段最短，即当M、D、A三点共线时最短∴连接AM交圆O于D’点，即AM是所要求作的长度。即由勾股定理AM=22ACCM224343104例2：(1)如图1，连结AD，∵AP+12BP=AP+PD,要使AP+12BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+12BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，∴AD=37，AP+12BP的最小值为37,故答案为37；(2)如图2，连接CP,在CA上取点D,使CD=23，∴CD：CP=CP：CA=1：3，∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD：AP=1：3，∴PD=13AP，∴13AP+BP=BP+PD，∴同(1)的方法得出13AP+BP的最小值为BD=2373.故答案为：2373；(3)如图3，延长OA到点E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，连接PE、OP，∵OA=3，∴OA：OP=OP：OE=1：2，∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴AP：EP=1：2，∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴当E.P、B三点共线时,取得最小值为：BE=13.[南瓜讲数学]系列之中考专题6【巩固训练】1.提示：构造∆PMC∆BPC第1步：将系数不为1线段的两个端点分别与圆心C相连接，即：连接CP、CB；第2步：计算出两条线段CP、CB的长度；第3步：计算这两条线段长度的比2142CBCP;第4步：在OB上取点M，使得21CPCM，∴CM=1；第5步：连接AM，与圆C交点即为点P.其中21BPPMCPCMCBCP∴PM=21BP，∴AP+21BP=AP+PM=37.即：当A、P、M三点共线时最小。2.构造∆BPM∆BCP第1步：将系数不为1线段的两个端点分别与圆心B相连接，即：连接BP、CB；第2步：计算出两条线段BP、CB的长度；第3步：计算这两条线段长度的比22CBBP第4步：在BC上取点M，使得22BPBM，∴BM=1；第5步：连接AM，与圆B交点即为点P.其中22PCPMBPBMCBBP∴PM=22PC[南瓜讲数学]系列之中考专题7∴PA+22PC=AP+PM=5.即：当A、P、M三点共线时最小。3.第1步：绘制P点运动轨迹，将系数不为1线段的两个端点分别与圆心A相连接，即：连接AP、PD；第2步：计算出两条线段AP、PD的长度；第3步：计算这两条线段长度的比2163ADPA第4步：在AD上取点M，使得21APAM，∴AM=23；第5步：连接CM，与圆A交点即为点P’.其中21''DPMPAPAMADAP∴P’M=21P’D∴PC+21PD=CP+PM=215即：当C、P、M三点共线时最小。4.解：如图，当A、P、D共线时，22PC+PD最小。理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB=BD=4，BD是切线，∴∠ABD=90°，∠BAD=∠D=45°，∵AB是直径，∴∠APB=90°∴∠PAB=∠PBA=45°，∴PA=PB，PO⊥AB，∵AC=PO=2，AC∥PO∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA=OP，∠AOP=90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM=22PC，∴22PC+PD=PM+PD=DM，∵DM⊥CO，∴此时22PC+PD最小=AD-AM=232-245.解：如图，取点K（1,0），连接OP、PK、BK。∵OP=2，OA=4，OK=1，∴21OPOKOAOP，∵∠POK=∠AOP，[南瓜讲数学]系列之中考专题8∴△POK∽△AOP，∴21OAOPPAPK，∴PK=PA21，∴PB+PA21=PB+PK，在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+PA21=PB+PK的最小值为BK的长，∵B（4,4），K（1,0），∴BK=54322因此，本题的正确答案是5.6.（1）4173；（2）6-2234.（1）将A（-4，-4），B（0,4）代入表达式，联立解得b=-2，c=4，抛物线表达式为422xxy联立解得k=2，b=4，42xy，点E在直线AB上，设E（m，2m+4），则G（m，42-2mm）已知OB∥GE，当四边形GEOB为平行四边形时，有OB=GE=4，即442-42-2mmm，解得m=-2，∴G（-2,4）（3）①设E（m，2m+4），F（m，21-m-6），如图所示，过A作AN⊥EF交EF于N，过H作HD⊥EF交EF于D，四边形AFHE为矩形时，有△AFN≌△HED，所以AN=HD，有-（-4）-（-m）=-m，解得m=-2，E（-2,0），F（-2，-5），A（-4，-4），所以有ED=FN=5-4=1，D（-2，-1）∴H（0，-1）②由①可知，E（-2,0），H（0，-1），A（-4，-4）∴EH=5，AE=52.如图所示，设AE交圆E于G，取EG中点P，∵G为AE中点，根据A、E的坐标可得G（-3，-2）（利用比例关系）当M在圆E上运动时，PE=25.连接PC交圆E于M，连接EM，EM=EH=5。∵21525MEPE，21525AEME，且∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，[南瓜讲数学]系列之中考专题9∴21AEMEAMPM，即PM=21AM，∴21AM+CM=PM+CM。根据“两点之间线段最短”，可知21AM+CM的最小值为PC。∵P是EG的中点，根据E，G的坐标可求得P（2125，），又C（0，-6），∴PC=255612522，即求得21AM+CM的最小值为255。