第一节--运用函数与方程思想解题的策略(理)

1/12第一节运用函数与方程思想解题的策略（理）【地位与作用】纵观近几年的高考数学试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一。高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷。函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，高考题对函数的思想方法的考查已经达到较高的层次，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数与方程思想几乎渗透到高中数学教学的各个领域，在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。【高考要求】能力要求：逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力。方法要求：函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程。主要题型：（1）利用函数与方程的性质解题；（2）构造函数与方程解题；（3）函数、方程、不等式三者之间的相互转化；（4）函数与方程在立体几何中的应用；（5）函数与方程在解析几何中的应用；（6）函数与方程在导数中的应用；（7）函数与方程在数列中的应用；（8）应用函数与方程研究实际问题。【例例题题选选讲讲】1.利用函数与方程的性质解题例1.(2009年山东卷文科第12题)已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则()A.(25)(11)(80)fffB.(80)(11)(25)fffC.(11)(80)(25)fffD.(25)(80)(11)fff【点拨】首先由(4)()fxfx可得8T，再利用函数的奇偶性、周期性化简得0)0()80(ff，)1()1()25(fff，(11)(1)ff，再利用单调性进行大小比较.【解答过程】:因为)(xf满足(4)()fxfx,所以(8)()fxfx,所以函数是以8为周期的周期函数,则)1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在R上是奇函数，(0)0f,2/12得0)0()80(ff,)1()1()25(fff,而由(4)()fxfx得)1()41()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(ff,所以0)1(f,即(25)(80)(11)fff,故选D.【易错点】不能由关系式(4)()fxfx判断出函数的周期性，不能由定义在R上的奇函数)(xf得到(0)0f，不能将自变量的值通过周期变换和奇偶性转化到区间[0,2]上，进而利用增函数的性质比较大小。2.构造函数与方程解题例2.已知155acb，（a、b、cR），则有（）A.acb42B.acb42C.acb42D.acb42【点拨】解法一通过化简，敏锐地抓住了数与式的特点：5看作是方程20axbxc的一个实根，再利用一元二次方程有根的充要条件0求得；解法二转化为2b是a、c的函数，运用重要不等式解题．【解答过程】解法一：依题设有550abc∴5是实系数一元二次方程20axbxc的一个实根；∴240bac∴acb42故选B.解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510102520baaccacacac∴acb42故选B.【易错点】不能合理地转化为2b是a、c的函数或构造20axbxc来解题。3.函数、方程、不等式三者之间的相互转化例3.（2008年广东卷理科第14题）已知aR,若关于x的方程2104xxaa有实根，则a的取值范围是.【点拨】求参数a的范围，可以先将a分离出来，表示为x的函数，求出函数的值域，进而得到参数a的范围。3/12【解答过程】方程即221111()[0,]4244aaxxx，即1144aa(*)当14a时，(*)变为1112444aa，故a无解当104a时，(*)变为1144aa，故1[0,]4a当0a时，(*)变为11044aaa，故a无解总之，a的取值范围是1[0,]4【易错点】不能将方程问题转化为函数问题来解，解绝对值不等式1144aa时分类不清。4.函数与方程在立体几何中的应用例4．（2010年福建文科第20题）如图8-1，在长方体1111ABCDABCD中，,EH分别是棱11AB,11DC上的点（点E与1B不重合），且11EHAD.过EH的平面与棱11,BBCC相交，交点分别为,FG.（1）证明：AD平面EFGH；（2）设122ABAAa，在长方体1111ABCDABCD内随机选取一点，记该点取自于几何体11AABFEDDCGH内的概率为p.当点,EF分别在棱11AB,1BB上运动且满足EFa时，求p的最小值.【点拨】（1）要证明线面平行只需证明线线平行，即ADEH（2）求p的最小值，可以先将p用体积来表示，再把体积表示为a、b的函数，最后运用重要不等式解出最小值.【解答过程】（1）证明：在长方体1111ABCDABCD中，11ADAD,又11EHAD，ADEHAD平面EFGH,EH平面EFGH,AD平面EFGH(2)设BCb，则长方体1111ABCDABCD的体积212VABADAAab几何体11EBFHCC的体积11111111()22bVEBBFBCEBBFABCDA1B1C1D1EHFG图8-14/1222211EBBFa222111122EBBFaEBBF当且仅当1122EBBFa时等号成立。从而214abV故212741128abVpVab，当且仅当1122EBBFa时等号成立。所以，p的最小值等于78【易错点】不能将立体几何问题转化为运用函数、方程与不等式的思想来解决。5.函数与方程在解析几何中的应用例5.（2010福建理第17题）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点(2,3)A，且点(2,0)F为其右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。【点拨】（1）由椭圆的定义可求得2aAFAF，并由焦点坐标求得2c；（2）假设直线存在，设出直线方程，并将直线方程和椭圆的方程联立，表示出直线OA与l的距离，由距离等于4列方程解得.【解答过程】（1）依题意，可设椭圆C的方程为22221(0)xyabab，且左焦点为(2,0)F，从而有22358caAFAF，解得24ca又222abc，所以212b，故椭圆C的方程为2211612xy（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为32yxt由223211612yxtxy得2233120xtxt因为直线l与椭圆有公共点，所以有22(3)43(12)0tt解得4343t5/12另一方面，由直线OA与l的距离为4，可得4914t，从而213t由于213[43,43]，所以符合题意的直线l不存在。【易错点】忘记考虑06.函数与方程在导数中的运用例6.（2010年天津理科第21题）已知函数()()xfxxexR.(1)求函数()fx的单调区间和极值；(2)已知函数()ygx的图象与函数()yfx的图象关于直线1x对称，证明当1x时，()()fxgx；(3)如果12xx，且12()()fxfx，证明122xx.【点拨】（1）利用导数，列出表格，求函数的单调性与极值；（2）首先根据对称性求出()ygx的解析式，再构造函数()()()Fxfxgx，转化为只需利用单调性证明()0Fx；（3）首先判断,12xx的范围，再利用前两问的结论单调性，要证212xx，只需证()(2)12fxfx【解答过程】(1)解：()(1)xfxxe，令()0fx,解得1x当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,1)1(1,)()fx+0-()fx极大值所以()fx在(,1)内是增函数，在(1,)内是减函数。函数()fx在1x处取得极大值1(1)fe。（2）证明：由题意可知()(2)gxfx,得2()(2)xgxxe令()()()Fxfxgx,即2()(2)xxFxxexe于是22()(1)(1)xxFxxee当1x时，220x,从而2210xe，由0xe，()0Fx,从而函数()Fx在[1,)6/12是增函数。又11(1)0Fee，所以1x时，有()(1)0FxF,即()()fxgx.(3)证明：1）若12(1)(1)0xx，由（1）及12()()fxfx，则121xx与12xx矛盾。2）若12(1)(1)0xx由（1）及12()()fxfx，则12xx与12xx矛盾。根据1），2）得12(1)(1)0xx，不妨设121,1xx由（Ⅱ）可知，22()()fxgx,则22()(2)gxfx，所以22()(2)fxfx,从而12()(2)fxfx.因为21x，所以221x，又由（Ⅰ）可知函数()fx在区间(,1)内是增函数，所以122xx,即122xx。【易错点】（1）在运用导数的四则运算法则求导数时容易出错；（2）在构造函数2()(2)xxFxxexe上存在问题；（3）在做第3问时，不知道合理利用前2问的结论。7.函数与方程在数列中的应用例7.（2009浙江文科第20题）设nS为数列{}na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数．（1）求1a及na；（2）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值．【点拨】（1）1n，求出1a，再利用1nnnaSS求na；（2）由24,,mmmaaa成等比数列得出等式224mmmaaa,由任意的*mN都成立，从而求出k.【解答过程】（1）解法一：当1,111kSan，12)]1()1([,2221kknnnknknSSannnn（）经验，,1n（）式成立，12kknan解法二：由2nSknn可知，数列{}na是等差数列，故111aSk，22142(1)31aSSkkk，212daak12kknan（2）mmmaaa42,,成等比数列，mmmaaa422.，即)18)(12()14(2kkmkkmkkm，整理得：0)1(kmk，对任意的Nm成立，10kk或7/12【易错点】化)18)(12()14(2kkmkkmkkm为最简形式时，运算会发生错误；不能联想到等差数列前n项和公式的特征。8.应用函数与方程研究实际问题例8.（2010年湖北理科第17题）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：()(010)35kCxxx，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设()fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（1）求k的值及()fx的表