开集与闭集

第二节开集与闭集第二章点集主讲：胡努春⒋开集、闭集P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得}){(,00),(0pEOp有EEEEEEEEE'''}{等价于故的孤立点全体由于说明：要证E是开集，只要证要证E是闭集，只要证)(显然因为EEEE)('显然因为或EEEEEEEE若Eº=E,则称E为开集（E中每个点都为内点)若,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）例：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证)(显然因为EEEEabx),(),(baOx证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。例：闭区间[a,b]为闭集说明：要证E是闭集，只要证''()()()ccccEEEEEEEEEE或或或因为显然abxcxbaO],[),(证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x不是[a,b]的接触点，从而[a,b]的接触点都在[a,b]内，从而[a,b]是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点利用：p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn},使得0limppnn0limppnn若（或）,则称E为闭集。（与E接近的点不跑到E外）EEEE'Eº为开集注：Eº为含于E内的最大开集为开集，即从而EEE)(EOOxy),()',(则)',(yOEEOx),()(Ex从而y为E的内点，从而所以x为Eº的内点，即)(EE证明：只要证),(xOEOx),(,0使得Ex任取，由内点的定义知),(xOy),('yxd任取，取E`为闭集}){'(,0),(xEOx有),(xO(',')(',')(,)'0,({'})('min{(,'),(,')}xxxOExdxxdxxOO知有当时,有x）)','(xOE(,)'('{})''xxOExxE取，由')''(EE)''(Ex证明：只要证任取，由聚点的定义知E`为闭集注：为包含E的最小闭集E(',')(',')(,)'0,({'})('min{(,'),(,')}xxxOExdxxdxxOO知有当时,有x）为闭集可得利用EEEEEEEEEE''')''(')''()'()','(xO),(xOE}){(),(xEOx')''(EE从而即x为E的聚点，从而⑵开集与闭集的对偶性P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：P0为E的外点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得}){(,00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00,,0即使得b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。ccccEEEE)()()()(a.开集的余集是闭集P0为E的接触点：P0为E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得CECE从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而，即Ec为闭集。EOExx),(,0,使得证明：设E为开集，即(,)cxOE从而闭集的余集是开集P0为E的接触点：P0为E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得EE证明：设E为闭集，即cxE任取，假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，cxE从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内，这与矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。⑶开集的性质a.空集，Rn为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1)AB⑷闭集的性质a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集ccAA)(ccAA)(⒌直线上的开集构造定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。()()()()(⑴直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.开集的构造⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。⑶Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.()()()()(6.R中有关紧性的两个结论⑴Bolzano-Weierstrass定理：若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.点列{a1,a2,a3,a4,…}a1=(a11,a12,a13,…,a1n)a2=(a21,a22,a23,…,a2n)a3=(a31,a32,a33,…,a3n)……注：对无限维空间不一定成立。详细内容参见教材p-183例6⑵Heine-Borel有限覆盖定理设F为有界闭集，若开集簇覆盖F（即），则中存在有限个开集U1，U2，…,Un，它同样覆盖F}:{IiUiiIiUF}:{IiUi注：比较下面几种不同的证法1.周民强，实变函数p-362.尤承业，基础拓扑学p-523.熊金城，点集拓扑讲义p-2024.教材p-42注：Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立可数覆盖定理设F为Rn中一集合，若开集簇覆盖F（即），则中存在可数个开集U1，U2，…,Un，…，它同样覆盖F}:{IiUiiIiUF}:{IiUi提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集例：设F为R1中的有界闭集，G为开集且则存在δ0，使得当|x|δ时，有证明：对任意的y∈F，由于y∈G，FGGFyxyxF}:{}{GOyyy),(,0使得故存在),(121iyiyniOF使得}:{),(21FyOyy由组成F的一个开覆盖及有限子覆盖定理，知存在y1,y2,…yn∈F,},,,min{2121nyyy取),(21iyiyO于是对每个y∈F至少属于某个iiiyyyiiyyyzzy2121||||||且y与Gc中的任一点z之间的距离为GxF}{则当|x|δ时有y+x∈G，即