第12章：一线三等角与全等三角形

一线三等角与全等三角形一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。二、一线三等角的类型同侧：锐角直角钝角异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如右图，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.四、“一线三等角”的应用1.适用于直角的情况例1：在ABCRt中，90ACB，BCAC，直线l经过点C，且lAE于点E，lBF于点F.（1）当直线l绕点C旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角？○2求证：AEC≌CFB；○3试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线l绕点C旋转到如图2的位置时，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线l绕点C旋转到如图3的位置时，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，不必说明理由.图1图2图3lFEBAClFEBAClFEBACDCABPCABPDDCBAPCDPBADPBCAADPCB巩固提高1：1.如图，ABC是等腰三角形，DE过直角顶点A，90ED，则下列结论正确的个数有（）○1AECD；○221；○39043；○4BEAD.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，若∠A＝40°，则∠EDF的度数为（）A.75°B.70°C.65°D.60°演练题：1.如图，在ABCRt中，90ACB，BCAC，直线l经过点C，且lAE于点E，lBF于点F.若25AB，4AE，则EF__________.2.如图，在ABCRt中，90ACB，BCAC，点D为斜边AB上一点，且CDAE于点E，CDBF交CD的延长线于点F.若2:1:AEBF，4AE，则AB_________.3.如图，在ABCRt中，90ACB，BCAC，点D为斜边AB上一点，连接CD，过点A作CDAE于点E.若45BED，4AE，则AB___________.4321EBDCAlFEBACFECDBAECDAB4．（1）已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1），易证△ABD≌△CAE．如图2，若点BC在直线l的异侧，其它条件不变，△ABD≌△CAE是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，点B、C位于l的同一侧，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，求证：△ABD≌△CAE．（3）变式二：如图4，△ABC中，依然有AB＝AC，若点B，C位于l的两侧，如果∠BDA+∠BAC＝180°，∠BDA＝∠AEC，求证：BD＝CE+DE．5.如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；