应力状态与应变状态分析

第七章应力状态与应变状态分析§7–1应力状态的概念§7–2平面应力状态分析——解析法§7–3平面应力状态分析——图解法§7–4梁的主应力及其主应力迹线§7–5三向应力状态研究——应力圆法§7–6复杂应力状态下的应力--应变关系——（广义虎克定律）§7–7复杂应力状态下的变形比能§7–１应力状态的概念一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzsxszsytxyxyzsxszsytxy五、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。0:zM单元体平衡证明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyttyxxytttzx六、原始单元体（已知单元体）：例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxzCtxytyx七、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。主面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321ssss1s2s3xyzsxsysz单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz§7–2平面应力状态分析——解析法等价sxtxysyxyzxysxtxysyO规定：s截面外法线同向为正；t绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：Fn00cossinsinsincoscos22tstssSSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力xysxtxysyOsytxysxstxyOtn图2图1xysxtxysyOsytxysxstxyOtn图2tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：02cos22sin:000tsssxyyxdd令二、极值应力yxxysst22tg0和两各极值：）、（由此的两个驻点：20101！极值正应力就是主应力00t）2222xyyxyxminmaxtssssss±（´´xysxtxysyOxysxtxysyO主单元体s1在剪应力相对的项限内，且偏向于sx及sy大的一侧。0dd:1t令xyyxtss22tg1222xyyxminmaxtsstt±）（01045,4成即极值剪应力面与主面min2max1;ssss2s1s例2分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力0yxssPnxyWMtt222122xyyxyxtssssss）（tt2xytxyCtyxMCxyOtxytyx破坏分析ttsstt22minmax2xyyx）（tssts321;0;4522tg00sstyxxy0022tg11tssxyyxMPa200;MPa240:ssts低碳钢MPa300~198;MPa960~640MPa280~98:bybLbtss灰口铸铁低碳钢铸铁§7–3平面应力状态分析——图解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsss对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）xysxtxysyOsytxysxstxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(sx，txy)和B(sy，tyx)AB与s轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysyxyOnstOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2nD(s,tsxtxysyxyOnstOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2nD(s,t三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(s，t)应力圆上一点(s，t)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。223122xyyxyxROCtssssss）（半径四、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxRtsssstt）（半径OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x21mintmaxt20s1s2s3s3例3求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°ABs1s2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与s轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0s1s2BAC2s0st(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点s3s1s2BAC2s0st(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图020120321sss3004532532595150°s10s2ABtsst2cos2sin2xyyx4532532595150°解法2—解析法：分析——建立坐标系如图xyyxyttsMPa325MPa45?xs222122xyyxyxtssssss）（60°MPa325MPa956060tsxyO§7–4梁的主应力及其主应力迹线zzxyIbQStzxIMys12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：223122xyxxtssss）（1s1s3s33s1s3s1s1s350–45°0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot20stD2D1CD1O20=–90°sD2A1Ot20CD1A2stA2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。s1s3qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacds3s1§7–5三向应力状态研究——应力圆法s2s1xyzs31s2s3sst1、空间应力状态2、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大剪应力为：tmax231maxssts2s1xyzs31s2s3sst例4求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：yz面为主面501s建立应力坐标系如图，画应力圆和点s1′,得:275058321sss44maxt5040xyz3010(MPa)s（MPa）tABCABs1s2s3tmax§7–6复杂应力状态下的应力--应变关系——（广义虎克定律）一、单拉下的应力--应变关系ExxsxyEsxzEs二、纯剪的应力--应变关系Gxyxyt)0x,y,z(i,jij)(0x,y,zii0zxyzxyzsxxyztxy三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:zyxzyxxEEEEssssss1xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1xyzszsytxysx主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:0zxyzztts方向一致02tg2sstyxxyyxxy02tg13221sssE12331sssE32111sssExyxyGtyxxEs21xyyEs21主应力与主应变方向一致?0202tg)()]1)([(1222tgsstyxxyyxxyyxxyEG五、体积应变与应力分量间的关系321aaaV)1()1()1(3322111aaaV3211VVV体积应变：)(21)(21321zyxEEssssss体积应变与应力分量间的关系:例5已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。03:s自由面上解MPa3.4410)1603.0240(3.011021016292121sE所以，该点处的平面应力状态MPa3.2010)2403.0160(3.011021016291222sE1s2s669132103.3410)3.443.22(102103.0ssE;MPa3.20;0;MPa3.44321sss3342.例6图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxs1smlpODxABy图a1、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程42DpDmss4pDmpsmsmxD图b用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)Dlplts2s2pDt3、求内压（以应力应变关系求之）ss241EpDEmttMPa36.3)25.02(5.01035001.0102104)2(469DEptstsm外表面ypststDqdq)d2(qDlpz图cO§7－7复杂应力状态下的变形比能332211212121sssu)(31321ssssms2s3s1图a图cs3-sms1-sms2-smbaE)(21321sss0c3123