蝴蝶定理的八种证明及三种推广

-1-蝴蝶定理的证明定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1如图2，作OUADOVBC，，则垂足UV，分别为ADBC、的中点，且由于EUOEMO90FVOFMO90得MEUO、、、共圆；MFVO、、、共圆。则AUM=EOMMOFMVC，又MADMCB，UV、为ADBC、的中点，从而MUAMVC，AUMMVC则EOMMOF，于是ME=MF。证法2过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则FMD'EMDMD=MD'，○1联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即PC'CQ。又111CFP=QB+PC=QB+CC'+CQ=BC'=BD'C'222（）（）故MFBD'、、、四点共圆，即MBFMD'F而MBFEDM○2由○1、○2知，DMED'MF，故ME=MF。证法3如图4，设直线DA与BC交于点N。对NEF及截线AMB，NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有FMEANB1MEANBF，FMEDNC1MEDNCF由上述两式相乘，并注意到NANDNCNB得22FMANNDBFCFBFCFMEAEEDBNCNAEED2222PMMFMQMFPMMFPMMEMQ+MEPMME+--化简上式后得ME=MF。[2]2不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。图2VUFEBDMOPQAC图3C'D'FEBDMOPQAC图4NFEBDMOPQAC-2-δγγδββαα图5FEBDMOPQAC证法4（Steven给出）如图5，并令DAB=DCBADC=ABCDMP=CMQAMP=BMQPMMQMEMFaxy，由FCMAMEEDMFMBFCMEDMFMBAMESSSS1SSSS，即AMAEsinFMCMsinEDMDsinMFMBsin1MCCFsinEMMDsinFBBMsinMAMEsin化简得222222MFCFFBQFFPMEAEEDPEEQayayayaxaxax即222222xyayax，从而,MEMFxy。证法5令PMDQMCQMBAMP，，以点M为视点，对MBC和MAD分别应用张角定理，有sinsinsinsinsinsinMFMCMBMEMDMA，上述两式相减，得11sinsinsinMCMDMBMAMFMEMCMDMAMB设GH、分别为CDAB、的中点，由OMPQ，有MBMA2MH2OMcos902OMsinMDMC2MG2OMcos902OMsin于是11sin0MFME，而180，知sin0，故ME=MF。（二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证211234y22图6FEBDMOPQAC-3-明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。证法6（单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为222xyaR。直线AB的方程为1ykx，直线CD的方程为2ykx。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为222120xyaRykxykx令0y，知点E和点F的横坐标满足二次方程222120kkxaR，由于x的系数为0，则两根1x和2x之和为0，即12xx，故ME=MF。[5]证法7如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为222xayr直线AB、CD的方程可写为1ykx,2ykx。又设ABCD、、、的坐标为,,1,2,3,4iixyi，则14xx、分别是二次方程2222222212,xakxrxakxr的一根。AD在y轴上的截距为241111214411111214141kxkxxkkxxyyyxkxxxxxxx。同理，BC在y轴上的截距为122332kkxxxx。注意到12xx、是方程22221120kxaxar的两根，34xx、是方程22222120kxaxar的两根，所以34122212342xxxxaxxarxx，从而易得341212340xxxxxxxx，即MEMF。证法8如图8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因CFB、、三点共线，令BMxCMx，，则CFFBCBsinsinsin22即CBFBCsincoscos○1ADEADsincoscos○2x图8UVFEBDMOPQAC21123y2图7FEBDMOPQAC-4-作OUCD于U，作OVAB于V。注意到ABCD○3由RtOUM与RtOVM可得DCBAcoscos○4将○3○4代入○1○2可得EF，即ME=MF。二蝴蝶定理的推广和猜想（一）猜想1在蝴蝶定理中,P、Q分别是ED、CF和AB的交点.如果P、Q分别是CE、DF和AB延长线的交点,我们猜想,仍可能会有PM=QM.推论1过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD与EF,连结CE、DF并延长交AB的延长线于P、Q.求证:PM=QM.证明;设AM=BM=a,PM=x,QM=y;∠PME=∠QMF=α,∠PCM=∠DFM=β;∠CME=∠DMF=γ,∠QDM=∠CEM=δ;记△PME,△QMF,△PMC,△QMD的面积分别为S1,S2,S3,S4.则由恒等式S2·S3·S4·S1=1知MP·MEsinαMQ·MFsinα·FQ·FMsin(π-β)CP·CMsinβ··MCsin(α+γ)·MDsin(α+γ)·DQ·DMsinδEP·EMsin(π-δ)=·DQ·MP2·EP·MQ2=1,即QF·QD·MP2=PC·PE·MQ2.②又由割线定理知PC·PE=PA·PB=(x-a)(x+a)=x2-a2,QF·QD=QB·QA=(y-a)(y+a)=y2-a2.代入②式,得(y2-a2)x2=(x2-a2)y2.即a2x2=a2y2.由于a≠0,x,y0,所以x=y.即PM=QM.[3]（二）猜想2在蝴蝶定理中,显然OM是AB的垂线(O是圆心),那么,我们可以猜想,如果在保持OM⊥AB的前提下将圆O的弦AB移至圆外,仍可能会有PM=QM.推论2已知直线AB与⊙O相离.OM⊥AB,M为垂足.过M作⊙O任意两条割线MC,ME分别交⊙O于C,D和E,F.连结DE,FC并延长分别交AB于P,Q.求证:PM=QM.证明：过F作FK∥AB,交直线OM于N,交⊙O于K.连结MK交⊙O于G.连结GQ,GC.由于ON⊥FK,故有FN=KN,从而MF=MK(因为M在FK的垂直平分线上).又由割线定理知ME·MF=MG·MK.因此ME=MG.③又由∠FMN=∠KMN,OM⊥AB,知∠EMP=∠GMQ.④从∠CQM=∠CFK=∠CGK知∠CGM+∠CQM=180°,从而G,M,Q,C四点共圆.所以∠MGQ=∠MCQ.又由于∠MEP=∠DEF=∠DCF=∠MCQ,知∠MEP=∠MGQ.⑤由③、④、⑤知△PME≌△QMG.所以PM=QM.（三）猜想3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的,而双曲线是两条不相交的曲线,那么,我们-5-可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线(也即是两条平行线),仍可能会有PM=QM.推论3设点A、B分别在两条平行线l1、l2上,过AB的中点M任意作两条直线CD和EF分别交l1、l2于C、D和E、F,连结ED、CF交AB于P、Q.求证:PM=QM.证明：由于l1∥l2,M平分AB,从而利用△MAC≌△MBD知M平分CD,利用△MAE≌△MBF知M平分EF.在四边形CEDF中,由对角线相互平分知CEDF是平行四边形,从而DE∥CF.又由于M平分EF,故利用△MEP≌△MFQ知PM=QM。[4]