高中数学复习专题-矩阵与行列式

专题八、矩阵与行列式1.矩阵：nm个实数njmiaij,,2,1;,,2,1,排成m行n列的矩形数表mnnmnnaaaaaaaaaA212221211211叫做矩阵。记作nmA，nm叫做矩阵的维数。矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。222111cybxacybxa3.线性方程组矩阵的三种变换：①互换矩阵的两行；②把某一行同乘（除）以一个非零的数；③某一行乘以一个数加到另一行。变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。4.矩阵运算：加法、减法及乘法（1）矩阵的和（差）：记作：A+B（A-B）.运算律：加法交换律：A+B=B+A；加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（2）矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A.运算律：分配律：BABA；AAA)(；结合律：AAA；（3）矩阵的乘积：设A是km阶矩阵，B是nk阶矩阵，设C为nm矩阵。如果矩阵C中第i行第j列元素ijC是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积，记作：Cm×n=Am×kBk×n.运算律：分配律：ACABCBA)(，CABAACB)(；结合律：BABAAB，BCACAB；注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BAAB。5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：设二元一次方程组（*）222111cybxacybxa（其中yx,是未知数，2121,,,bbaa是未知数的系数且不全为零，21,cc是常数项）用加减消元法解方程组（*）:当01221baba时，方程组（*）有唯一解：1221122112211221babacacaybababcbcx，引入记号21aa21bb表示算式1221baba，即21aa21bb1221baba．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。记D21aa21bb，xD21cc21bb，yD21aa21cc，则：①当D21aa21bb=01221baba时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为DDyDDxyx.②当D=0时，0xyDD，方程组（*）无穷组解；③当D=0时，0,0xyDorD，方程组（*）无解。系数行列式1122abDab也为二元一次方程组解的判别式。6.三阶行列式（1）三阶行列式的展开方法：①对角线方式展开：②按某一行(或列)展开法：333231232221131211aaaaaaaaa=112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa=11a33322322aaaa-12a33312321aaaa+13a32312221aaaa记322211aaM3323aa，111111)1(MA，312112aaM3323aa，12A1221)1(M，312113aaM3222aa，133113)1(MA，称jM1为元素ja1的余子式，即将元素ja1所在的第一行、第j列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称jA1为元素ja1的代数余子式，jjjMA111)1(（)3,2,1j。则三阶行列式就可以写成D=333231232221131211aaaaaaaaa=131312121111AaAaAa，这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将D按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。（2）三阶行列式的性质：①行、列依次对调，行列式的值不变，即②两行(或两列)对调，行列式的值变号，如③某行(或列)所有元素乘以数k，所得行列式的值等于原行列式值的k倍，如④某两行(或两列)的元素对应成比例，行列式的值为零。⑤某行(或列)的元素都是二项式，该行列式可分解为两个行列式的和，如⑥某行(或列)的所有元素乘以同一个数，加到另行(或列)的对应元素上，行列式的值不变，如性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。7.用三阶行列式求三角形的面积：若ABC三个顶点坐标分别为),(11yx、),(22yx、),(33yx，则，所以、、三点共线的充分必要条件为.8.三元一次方程组的解法：设三元一次方程组(﹡)，其中zyx,,是未知数，)3,2,1(icbaiii、、、是未知数的系数，且不全为零，)3,2,1(idi是常数项。下面用加减消元法解方程组(﹡)：我们把方程组(﹡)的系数行列式记为D，用D的元素321aaa、、的代数余子式321AAA、、依次乘以方程组(﹡)的各方程，得11111111AdzAcyAbxAa22222222AdzAcyAbxAa，33333333AdzAcyAbxAa将这三个式子相加，得：332211332211332211332211)()()(AdAdAdzAcAcAcyAbAbAbxAaAaxAa①其中①式中x的系数恰为(﹡)的系数行列式D。由于zy与的系数分别是D的第一列元素的代数余子式的乘积之和，因此zy与的系数①都为零。11223311121ABCxySxyxyABC1122331101xyxyxy333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa111222333abcabcabc①式的常数项可表示为111222333xdbcDdbcdbc，于是①式可化简为D٠x=Dx。类似地，用D的元素1b、2b、3b的代数余子式1B、2B、3B依次乘以方程组（*）的各方程，可推得D٠y=Dy；用D的元素1c、2c、3c的代数余子式1C、2C、3C依次乘以方程组（*）的各方程，可推D٠z=Dz，其中111222333yadcDadcadc，111222333zabdDabaabd由方程组xyzDxDDyDDzD，可见，对于三元一次方程组（*），其系数行列式为D，则：（i）当0D时，方程组（*）有唯一解xyzDxDDyDDzD.（ii）当D=0，0zyxDDD时，方程组（*）无解；（iii）当D=0，0zyxDDD时，方程组（*）有无穷多解。例1.已知1223,2131AB，则AB；BA例2.若三阶行列式按第二行展开为accbbacbbaac，求该三阶行列式。例3.求关于x、y、z的方程组21mxyzxmyzmxymzm有唯一解的条件，并把在这个条件下的解求出来。变式训练：（1）若线性方程组的增广矩阵为212332cc，解为12yx，则c1–c2=（2）若三条直线03yax,02yx和012yx相交于一点，则行列式11221131a的值为____________（3）已知,0,t函数xxxfcos1sin3)(的最小正周期为2，将)(xf的图像向左平移t个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t的最小值为（4）把22111133332224xyxyxyxyxyxy表示成一个三阶行列式________________（5）若ABC的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)ABC，其面积为_____（6）若,,abc表示ABC的三边长，且满足0222cbacccbabbcbaaa，则ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形（7）若复数满足,则的值为_________________________（8）设△的内角,,所对的边长分别为,,，若30abcababc，则角_______z014zzzABCABCabcC（9）若三阶行列式1302124121nmmn中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15，则|i|nm(其中i是虚数单位，Rmn、)的值是（10）已知数列na的通项公式2,nannN，则5231234201220134345620142015aaaaaaaaaaaaaaaa（11）已知1101A，定义1AA，1nnAAA.（I）求23,AA的值；（II）求(2,)nAnnN.（12）已知行列式：367861254，计算该行列式第一行的各元素与第三行对应元素的代数余子式的乘积，即计算131313aAbBcC的值为________________