集合知识点及题型归纳总结(含答案)

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集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念1.集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外,还可以是其他对象.2.集合元素的特征(1)确定性:集合中的元素必须是确定的,任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.(2)互异性:集合中任何两个元素都是互不相同的,即相同元素在同一个集合中不能重复出现.(3)无序性:集合与其组成元素的顺序无关.如,,,,abcacb.3.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法.4.常用数集的表示R一实数集Q一有理数集Z一整数集N一自然数集*N或N一正整数集C一复数集二、集合间的关系1.元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作aA)和不属于(记作aA)两种.空集:不含有任何元素的集合,记作.2.集合与集合之间的关系(1)包含关系.子集:如果对任意aAAB,则集合A是集合B的子集,记为AB或BA,显然AA.规定:A.(2)相等关系.对于两个集合A与B,如果AB,同时BA,那么集合A与B相等,记作AB.(3)真子集关系.对于两个集合A与B,若AB,且存在bB,但bA,则集合A是集合B的真子集,记作ABÜ或BAÝ.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算,如表11所示.表11交集|ABxxAxB且并集|ABxxAxB或ABAB补集IAð|IAxxIxA且ð1.交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作AB,即|ABxxAxB且.2.并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集,记作AB,即|ABxxAxB或.3.补集已知全集I,集合AI,由I中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A相对于全集I的补集,记作IAð,即|IAxxIxA且ð.四、集合运算中常用的结论1.集合中的逻辑关系(1)交集的运算性质.ABBA,ABA,ABBAIA,AAA,A.(2)并集的运算性质.ABBA,AAB,BABAII,AAA,AA.(3)补集的运算性质.()IIAA痧,IIð,IIð()IAAð,()IAAIð.补充性质:IIIABAABBABBAAB痧?.(4)结合律与分配律.结合律:()()ABCABC()()ABCABC.分配律:()()()ABCABAC()()()ABCABAC.(5)反演律(德摩根定律).()()()IIIABAB痧?()()()IIIABAB痧?.即“交的补补的并”,“并的补补的交”.2.由*(N)nn个元素组成的集合A的子集个数A的子集有2n个,非空子集有21n个,真子集有21n个,非空真子集有22n个.3.容斥原理()()()()CardABCardACardBCardAB.题型归纳及思路提示IAðAI题型1集合的基本概念思路提示:利用集合元素的特征:确定性、无序性、互异性.例1.1设,abR,集合1,,0,,bababa,则ba()A.1B.1C.2D.2解析:由题意知01,,aba,又0a,故0ab,得1ba,则集合1,0,0,1,ab,可得1,1,2abba,故选C。变式1(2012新课标理1)已知集合1,2,3,4,5,(,)|,ABxyxAyA,则B中所含元素的个数为().A.3B.6C.8D.10变式2(2013山东理2)已知集合0,1,2,|,ABxyxAyA中元素的个数为().A.1B.3C.5D.9变式3若集合,,lg()0,||,xxyxyxy,则x,y.题型2集合间的基本关系思路提示(1)判断两集合的关系常用两种方法:一是逻辑分析法,即先化筒集合,再从表达式中寻找两集合的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系,这体现了合情推理的思维方法.(2)已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析.一、集合关系中的判断问题例1.2若|41,,|43,,|81,AxxnnZBxxnnZCxxnnZ,则A,B,C之间的关系为().A.CBA苘B.ABCÜC.CABÜD.ABC解析:解法一:集合B中元素434(1)1,xnnnZ,故集合AB,而集合C中元素421,xnnZ,故CAÜ.解法二:列举,7,3,1,5,9,,,7,3,1,5,9,AB,,7,1,9,C.因此CABÜ,故选C.评注:解法一是数学中“求同比异”的思想,值得学习;解法二是列举法,易于入手,也是做选择题的常用方法.变式1设集合1|,24kMxxkZ,1|,42kMxxkZ,则A.MNB.MNÜC.MNÝD.MN例1.3设2|8150,|10AxxxBxax.(1)若15a,试判断集合A与集合B的关系;(2)若BA,求实数a组成的集合C.分析:(1)先求集合A,再由15a求集合B,确定A与B的关系.(2)解方程10ax,建立a的关系式求a,从而确定集合C.解析:(1)由28150xx得3x或5x,所以3,5A.若15a,得1105x,即5x,所以5B,故BAÜ.(2)因为3,5A,又BA.①当B时,则方程10ax无解,则0a;②当B时,则0a,由10ax,得1xa,所以13a或15a,即13a或15a故集合11035C,,.评注:(1)研究集合的子集问题时应首先想到空集,因为空集是任何集合的子集.(2)含参数的一元一次方程axb解的确定:当0a时,方程有唯一实数解bxa;当0ab时,方程有无数多个解,可为为任意实数;当0a且0b时,方程无解.变式1已知集合2|3100Axxx,集合|121Bxpxp,若BA,求实数p的取值范围.二、已知集合间的关系,求参数的取值范围例1.4(2012大纲全国理2)已知集合1,3,,1,,AmBmABA,则m()A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3解析:由ABA,得BA,故3m或mm且1m,所以0m或3.故选B.变式1已知集合|36,|,AxxBxxaaR,若AB,则实数a的取值范围是.变式2已知集合|1,|AxxBxxa,且ABR,则实数a的取值范围是.变式3已知集合2|1,PxxMa,若PMP,则a的取值范围是()A.(,1]B.[1,)C.[1,1]D.(,1][1,)三、集合关系中的子集个数问题例1.5已知集合2|3100,AxxxxZ,则集合A的子集个数为.分析:本题应首先确定集合A中元素的个数,再求其子集的个数.解析:集合2|3100,2,1,0,1,2,3,4,5AxxxxZ,共8个元素,则集合A的子集的个数为82256.例1.6已知集合2|320,,|05,NAxxxxRBxxx,满足条件ACB的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:由1,2,1,2,3,4AB且ACB,得集合C是集合1,2与集合3,4的任一子集的并集,即求集合3,4的子集的个数为224,故选D.变式1已知集合M满足*1,2|10,NMxxxÜ,求集合M的个数.题型3集合的运算思路分析凡是遇到集合的运算(并、交、补)问题,应注意对集合元素属性的理解,数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合运算问题的常用思想.一、集合元素属性的理解例1.7已知集合22|1,,|9MyyxxRNxyx,则MN()A.|13xxB.|13xxC.|13xxD.|14xx分析:在进行集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的属性,判断M、N是数集还是点集,是数集要化简集合,是点集要解方程组.在本题中,集合M代表元素是因变量,故是函数的值域(数集);集合N的代表元素是自变量,故是函数的定义域(数集).解析:2|1,|1MyyxxRyy,22|9|90Nxyxxx,即|33Nxx,所以|13MNxx,故选C.评注:几量遇到集合的运算(交、并、补)问题,应注意对集合元素属性的识别,如集合|(),yyfxxA是函数的值域,是数集,求出值域可以使之简化;集合(,)|(),xyyfxxA是点集,表示函数()yfx图像上所有点的集合.再如集合22|1,,MxxyxyR,可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合|11yy,表示的是数集[1,1];2(,)|0,,NxyxyxyR表示的是曲线20xy,即抛的线2yx上所有点构成的集合,它表示的是点集,故有MN.另如22(,)|4,|MxyxyNyyx,则有MN,而易错为(2,2),(2,2)MN.变式1集合2|03,|9PxZxMxRx,则PM().A.1,2B.0,1,2C.|03xxD.|03xx变式2已知集合1||3||4|9,|46,0AxRxxByRyxxx,则集合AB.变式3设全集(,)|,IxyxyR,集合3(,)|1,(,)|2yMxyNxyyxx,那么()()IIMN痧()A.B.(2,3)C.(2,3)D.(,)|1xyyx变式4已知集合2(,)|20,AxyxmxyxR,(,)|10,0Bxyxyx,若AB,求实数m的取值范围.二、数轴在集合运算中的应用例1.8设集合||2|3,|8,SxxTxaxaSTR,则a的取值范围是()A.(3,1)B.[3,1]C.([1,)D.((1,)分析:借助数轴表示集合S和集合T,根据集合的关系,求解参数的取值范围.解析:因为15,|8SxxTxaxa或,集合S,T在数轴上的表示如图1-1所示.因为STR,所以185aa,可得31a.故选A.变式1已知集合||2|3AxRx,集合|()(2)0BxRxmx,且(1,)ABn,则m,n.变式2已知全集UR,集合|23,|14AxxBxxx或,那么集合()UABð().A.|24xxB.|34xxx或C.|21xxD.|13xx1a58a图1—1变式3已知集合3|0,|31xMxNxxx,则集合|1xx().A.MNB.MNC.()RMNðD.()RMNð三、韦恩图在集合运算中的应用例1.9设U为全集,M,P是两个非空集合,定义M与P的差集|MPxxMxP且,则()MMP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