维纳滤波和卡尔曼滤波

维纳滤波和卡尔曼滤波5卡尔曼(Kalman)滤波1引言2维纳滤波器的离散形式——时域解3离散维纳滤波器的z域解4维纳预测1引言观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度地抑制噪声，将有用信号提取出来，是信号处理基本的问题。信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。x(n)s(n)v(n))()()(nvnsnx这里，只考虑加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声v(n)之和信号处理的目的是得到s(n)，也称为期望信号，滤波系统的单位脉冲响应为h(n)，系统的期望输出为yd(n)，yd(n)应等于s(n)；系统的实际输出为y(n)，y(n)是s(n)的逼近或估计，yd(n)=s(n)，y(n)=。)(ˆnsh(n)x(n)s(n)＋v(n)y(n)采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同对信号x(n)处理，可以看成是对期望信号的估计，可以将h(n)看作是估计器，信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。得到结果是封闭公式。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关函数或功率谱密度）维纳滤波的最大缺点是仅适用于平稳随机信号以估计结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最佳准则。最小均方误差准则(MMSE,MininumMeanSquareError)2维纳滤波器的离散形式——时域解根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以得到滤波器的输出y(n):0)()()()()(mmnxmhnhnxnyn=0,1,2,…设期望信号为d(n)，误差信号及其均方值分别为:])()([])([22nyndEneE2.1维纳滤波器时域求解的方法)()()(nyndne)()(nyns20)()()(mmnxmhndE要使均方误差为最小，须满足0]|)([|2jhneE误差的均方值是标量，因此上式是一个标量对复函数的求导问题，它等价于0]|)([|]|)([|22jjbneEjaneE记jjjbjajjjjbahj=0,1,2,…则上式可以写为0]|)([|2neEj展开得)()()()()()()()(]|)([|****2njebnenjebneneaneneaneEneEjjjjj0]|)([|]|)([|]|)([|222jjjbneEjaneEneEjjnxjhnsnynsne)()()()()()(jjjjbahjane)(0)()()()(jjjjnxjbansnejane)(*jbne)(*jbne)()(jnx)(*jnx)(*jnjx)(jnjx)()()()()()()()(]|)([|****2njebnenjebneneaneneaneEneEjjjjj)]()()()()()()()([**njejnjxnjejnjxnejnxnejnxE)]()([2*nejnxEj=0,1,2,…说明：均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是正交性原理。它的重要意义在于提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。)]()([2]|)([|*2nejnxEneEj因此0)]()([*nejnxE输出信号y(n)与误差信号e(n)的互相关函数])()()([0*jnejnxjhE滤波器工作于最佳状态时的输出为yopt(n)joptoptnejnxEjhnenyE)]()([)()]()([**opt此时，输出yopt(n)与期望信号d(n)的误差为eopt(n))]()([)0(*nenyErey0*)]()([)(jnejnxEjh0期望信号、估计值与误差信号的几何关系)(nyopt)(neopt)(nd当滤波器处于最佳工作状态时，估计值加上估计偏差等于期望信号)(e)()(optoptnnynd对于随机信号，上图中各矢量的几何表示为相应量的统计平均或者是数学期望。]|[|222optdopteEy假定输入信号x(n)和期望信号d(n)都是零均值,应用正交性原理因此在滤波器处于最佳状态时，估计值y(n)的能量总是小于等于期望信号d(n)的能量。0)()()()(0***mmnxmhndknxE)()()(0*kmrmhkrmxxdxryx(-k)=r*xy(k))()()(0mkrmhkrmxxxdk=0,1,2,…2.2维纳—霍夫方程0)]()([*neknxE0)()()()(mmnxmhndne)()()()()(*0**knxmnxEmhknxndEm)()(krkhxx上式称为维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程。)()()()()(10krkhmkrmhkrxxMmxxxdk=0,1,2,…当k=0时当h(n)是一个长度为M的因果序列(即系统是一个长度为M的FIR滤波器)时，维纳-霍夫方程表述为当k=1时当k=M-1时)0()1()1()0(21xdxxMxxxxrMrhrhrh)1()2()0()1(21xdxxMxxxxrMrhrhrh)1()0()2()1(21MrrhMrhMrhxdxxMxxxxMhhhh21)1()1()0(MrrrRxdxdxdxd)0()2()1()2()0()0()1()1()0(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrMrMrMrrrMrrrR可以写成矩阵的形式hRRxxxdxdxxRRh1已知期望信号与观测数据的互相关函数和观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，直接从时域求解因果的维纳滤波器，当选择的滤波器的长度M较大时，计算工作量很大，并且需要计算Rxx的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。此外，在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，如果想通过增加长度提高逼近的精度，就需要在新M基础上重新进行计算。因此，从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的方法。假定所研究的信号都是零均值的，维纳滤波器为M长的FIR型，估计的均方误差为：]|)([|2neE2.3估计误差的均方值)]()([)()()]()([)()]()([)(]|)([|*1010**10*10*2inxknxEihkhndknxEkhndknxEkhndEMkMiMkMk1010*10*10*2)()()()()()()(MkxxMiMkxdxdMkdkirihkhkrkhkrkh]|)()()([|210knxkhndEMkhRhhRRhxxxdxddTTT*)()()(**2均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次函数关系。由于单位脉冲响应h(n)为M维向量，因此均方误差是一个M维超椭圆抛物形曲面，该曲面有极小点存在。当滤波器工作于最佳状态时，均方误差取得最小值。1010*10*10*2)()()()()()()(MkxxMiMkxdxdMkdkirihkhkrkhkrkhxdxxxdxdxxxxxdxxdRRRRRhRRRhneE1*1*122)(][])[(]|)([|TTxdxxxddRRRneE1*2min2)(]|)([|ToptxddhRT)(*2xdxxRRh1例:设y(n)=x(n)+v2(n),v2(n)是白噪声,方差σ22=0.1.期望信号x1(n)的信号模型如图(a)所示，其中白噪声v1(n)的方差σ21=0.27,b0=0.8458。x(n)的信号模型如图(b)所示，b1=0.9458。假定v2(n)与x(n)、x1(n)不相关，并都是实信号。设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，要求滤波器是一长度为2的FIR滤波器。z£1x1(n)v1(n)b0z£1x(n)x1(n)b1y(n)v2(n)(a)(b)xdxxRRh121hhh)1()0(xdxdxdrrR)0()1()1()0(xxxxxxxxxxrrrrR解观测数据为y(n)，期望信号为x1(n))(1mryx)(mryy)()()(2nvnxny)]()([)(mnynyEmryy)()(22mrmrvvxx))]()(())()([(22mnvmnxnvnxEz£1x1(n)v1(n)b0z£1x(n)x1(n)b1y(n)v2(n)(a)(b))9458.01)(8458.01(1)()()(1121zzzHzHzH)()2()1()(121nvnxanxanx)(*mnx)]()([)2()1()(121mnxnvEmramramrxxxxxxH1(z)H2(z)＋v1(n)x1(n)x(n)y(n)v2(n)＋＋1.0)]()([)2()1()(121mnxnvEmramramrxxxxxx0)]()([)2()1()0(121nxnvErararxxxxxx1)0(xxr)]1()([)1()0()1(121nxnvErararxxxxxx)]2()([)0()1()2(121nxnvErararxxxxxx)]([21nvE05.0)1(xxr)()2()1()(121nvnxanxanx)0()1()1()0(yyyyyyyyyyrrrrR)0()0()1()1()1()1()0()0(22222222vvxxvvxxvvxxvvxxrrrrrrrr1.15.05.01.11)0(xxr5.0)1(xxrm=0,1)]()([)(11mnxnyEmryx)]()([1mnxnxE)()()(2nvnxny)()()(22mrmrmrvvxxyy计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵1yxR)]()([)(11mnxnxEmryx)1()()(11nxbnxnx))]1()()(([1mnxbmnxnxE)1()(1mrbmrxxxx)1()()(11nxbnxnx)1()0()0(11xxxxyxrbrr5272.0)0()1()1(11xxxxyxrbrr4458.04458.05272.0ydRydyyoptRRh11.15.05.01.1yyR4458.05272.0ydR7853.08360.0该维纳滤波达到最佳状态时的均方误差optThRneEydd)(]|)([|*2min2)]([)0(21211nxErxxd)1()()(1011nxbnvnx22021db)]1()1()(2)([212011021nxbnxnvbnvE9486.0optThRneEydd)(]|)([|*2min21579.03离散维纳滤波器的z域解在时域设计维纳滤波器就是求解维纳-霍夫方程)()()(0mkrmhkrmxxxd)()(krkhxx1)求解该