第六节--高斯函数

2020/9/121§1.6函数[x]与{x}及其在数论中的应用定义：设x是实数，以[x]表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，称{x}=x[x]为x的小数部分.一、函数[x]与{x}及其性质[2.3]2,[2.3]3,[2]2,[]3,[]4例如：；2.30.3,2.30.7,20,0.1415,0.858401.x注意：2020/9/122定理1对于[x]与{x}，有下列结论成立(7),,1,2,,[].aabZabb设则在中能被整除的数有个(1)[];xxx(2)[][]1,1[],01;xxxxxxx(3)[][],;nxnxnZ(4)[][][],;xyxyxyxy[],Z0,Z(5)[];;[]1,Z1{},Zxxxxxxxxx(6)[],01,(,)aaaabbbbaZbZbbb2020/9/123(4)[][][],;xyxyxyxy','1;','1.bbbbbbbb,,','.xaxbyayb证明：设''xyaabb则''aabb'aaxy'xybb''xyaabb'bb.xy2020/9/124(6)[],01,(,)aaaabbbbaZbZbbbaaabbb证明：.aaabbbb01ab0abbb,abZb又01.abbb()[],.aaabqrbqb=rbb注：若记余，则2020/9/125(7),,1,2,,[].aabZabb设则在中能被整除的数有个,2,,bbb证明：能够被整除的正整数为2abk如果在1，，，中，能够被整除的正整数有个,(1)kbakb那么，1akkb.akb2020/9/126二、函数[x]与{x}的一个应用!n——的分解定理2在n!的标准分解式中质因数()ppnh的指数为21[][][].rrnnnhppp,[]0.ssnpnp注：若则例1求20！分解式中质因数2的个数。23452020202020[][][][][]022222解：10521182020/9/127定理2的证明：21[][][].rrnnnhppp设把2,,n都分解为标准分解式，h就是这1n个分解式中质因数p的指数之和，设其中p的指数是(1)rr的有rn个，则123123hnnn1232334()()()nnnnnnn12rNNN记其中，rN恰是2,,n中能够被rp除尽的个数由定理1○7知[]rrnNp21[][][].rrnnnhppp下面以15!为例说明.2020/9/128考虑15!含有质因数2的个数.在2，3，…，15中，含有1个因子2的数有4个；2，6，10，14.14.n即含有2个因子2的数有2个；4，12.22.n即含有3个因子2的数有1个；8.31.n即123123hnnn14223111.另一方面，能被2整除的有N1=4+2+1=7个；能被4整除的有N2=2+1=3个；能被8整除的有N3=1个；23151515[][][]73111.222h即2020/9/1291[]1!,.rrnppnpnnpn推论其中表示所有不超过的质数的乘积例2求12!的标准分解式。解：12以内的质数有2，3，5，7，11.其标准分解式中，各质因数的个数如下：1212122[][][]63110248的个数12123[][]41539的个数=……所以12!的标准分解式为105212!235711.2020/9/1210推论2贾宪数!(0).!()!nknknk是整数，证明：由定理2，对于任意的质数p，整数n!，k!与(nk)!的标准分解式中所含的p的指数分别是111.[][][]rrrrrrnknkppp，与利用定理1(4)可知111[][][]rrrrrrnknkppp!(0).!()!nknknk所以是整数，[][][]xyxy2020/9/12113()(),fxnkn推论设是次整系数多项式)()!kfxnkk(则是次整系数多项式.注：二项式系数是中国人最早发现的，宋朝杨辉的《详解九章算法》中有记载，贾宪〔隋朝，13世纪前〕用过二项式系数的图形〔杨辉三角〕，比欧洲早260年左右，比帕斯卡Pascal〔1654〕早400年。