第四章--不定方程

2020/9/121第二章不定方程§2.1一次不定方程2020/9/122一、问题的提出〔百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”分析：设x,y,z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：1001531003xyzxyz消去z得到方程74100xy这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。2020/9/123小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用以铺地板,则下列选择正确的是（）分析：这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。A、①②、B、①③、C、②③、D、②④设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有60m+90n=360.2020/9/1241111112,,(1)nnnnnnncaaaaxxaxaxcnaa定义设整数,,是整数且都,,不为零,以及,,是整数变数.方程称为元一次不定方程,,,称为它的系数.特别地，二元一次不定方程的一般形式为：,,,,,0(2)axbycabcZab2020/9/125二元一次不定方程的一般形式为：,,,,,0(2)axbycabcZab174100.xy例求方程所有正整数解100772544xxy4,18;xy8,11;xy12,4.xy注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。2020/9/126问题1：所有的二元一次不定方程都有解吗？681.xy例如定理1有整数解(,).abc(1)axbyc显然；(,)dab，记11,.dcccdcZ若，则.dasbt可以表示为1()ccasbt所以11,xcsyct取，即为方程〔1〕的解。证明：问题2：二元一次不定方程的解法？2020/9/127二、二元一次不定方程解的形式：定理2若〔2〕式有整数解00,xxyy则〔2〕式的一切解可以表示为：01011,,,,0,1,2(,)(,)xxbtyyatababtabab其中，，（3）,,,,,0(2)axbycabcZab00(,)1,(1),.abxxbtyyat注：(1)如果则的解为(2)定理2给出了二元一次不定方程的通解的一般形式。因此，解决问题的关键在于求一个特解。2020/9/128例2写出下列方程通解的形式：(1)582;xy(2)583;xy(3)6812;xy(4)681.xy008,5,0,1,2,xxtyytt008,5,0,1,2,xxtyytt004,3,0,1,2,xxtyytt004,3,0,1,2,xxtyytt008,5,0,1,2,xxtyytt或004,3,0,1,2,xxtyytt或2020/9/129三、求二元一次不定方程整数解的一般方法先求一个特殊解，再根据定理2写出其通解。对于方程(2),若有解，则可化为,(,)1(3)axbycab的形式一般地，利用辗转相除法，得到1,asbt00,.xcsyct则2020/9/1210例3求方程的一个特殊解。741xy解：用7、4进行辗转相除法741343113741143114(741)1,所以，7(1)421.即001;2.xy从而，注：若原方程是741xy，则化为74()1xy，原方程有一个特解1,2xy.2020/9/121111132175xy例4求〔1〕的一切整数解。(111,321)3解：原方程可以化为3710725(2)xy371071xy先求〔3〕的一个整数解。107＝37×3－4，37＝4×9+1，从而1374937(373107)937(26)107(9)故〔3〕的一个整数解是26,9xy〔2〕的一个整数解是2625,925xy原方程的整数解为2625107,92537,xtyttZ2625107,92537,xtyttZ或者，2020/9/1212代数运算，观察法1073725xy例5求的一切整数解。即得到原方程的一个整数解从而所求的一切整数解为2510737xy解：254337xx254'37xy令37'254yx'19'64yy'1y取3x8y003,8xy337,8107,xtyttZ2020/9/12132020/9/1214§2.2多元一次不定方程一、多元一次不定方程有解的判定定理1方程11221,,,,(1)nnnaxaxaxNaaNZ12(,,,).naaaN有整数解证明：()，12(,,,).naaad记1,,ndada.dN〔1〕有解2020/9/1215定理1方程11221,,,,(1)nnnaxaxaxNaaNZ12(,,,).naaaN有整数解()2.n当时，结论显然成立假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。21223(,),(,,,),.ndaadaaddN令则且2233nndtaxaxN所以方程有解，令其一整数解为23',',,'ntxx2233()nndtNaxax由112222axaxdt112222'axaxdt考虑方程，212(,)daa故该方程有解，记为12','.xx进而得到是原方程的一个整数解。123',',',,'nxxxx2020/9/1216二、多元一次不定方程求解的方法例1求不定方程x2y3z=7的所有整数解。2(1),xyt解：令37(2)tz则（1）的解为2,.(3)xtvvZyv（2）的解为13,.(4)2tuuZzu把(4)代入(3),消去t,得132,,.2xuvyvuvZzu注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.2020/9/121792451000xyz问题：对于方程，如何求解？924,51000xyttz令(9,24)3,9243xyt由于故可令，38.xyt即38351000.xyttz再解方程和一般地，我们可以给出多元一次不定方程的求解方法.2020/9/121811221,,,,(1)nnnaxaxaxNaaNZ二、多元一次不定方程求解的方法1222331(1)(,),(,),,(,).nnnaaddaddadd顺次求出若d不能整除N，则原方程无整数解；否则，继续下面的步骤。(2)构造如下的n-1个方程11222222333311nnnnaxaxdtdtaxdtdtaxN(3)求出每个方程的所有整数解〔含参数ti〕，再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，从而得到原方程的所有整数解。2020/9/1219例2求方程的一切整数解。92451000xyz2(9,24)3,d解：3(3,5)1dd原方程有整数解。列出如下的2个方程：924338(1)xytxyt351000(2)tz(1)的解为38,3,xtuytuuZ(2)的解为10003,20005,zvtvvZ把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为6000158,200053,10003,,xvuyvuzvuvZ2020/9/1220§4.3商高不定方程2020/9/1221一、问题的提出我们把满足二次不定方程222(1)xyz的正整数解称为勾股数.早在我国古代数学书《周髀算经》中，就载有“勾三股四弦五”，实际上说明该方程存在整数解。方程〔1〕的非零整数解如何去求，其解具有怎样的特征，是这里要回答的问题。《周髀算经》是中国流传至今最早的一部数学著作,同时也是一部天文学著作。现传本大约成书于西汉时期(公元前一世纪)。也有史家认为它的出现更早，是孕于周而成于西汉，甚至更有人说它出现在纪元前1000年。2020/9/1222二、二次不定方程解的形式222xyz为简单起见，我们先求方程〔1〕满足下述条件(2)的解0,0,0,(,,)1(2)xyzxyz注：〔2〕中的条件(,,)1xyz可以改写为(,)1.xy定理1：(,,)(1)(2)xyz若是方程满足条件的解，则有(1),xy有不同的奇偶性；(2),3xy中有且仅有一个能被整除；(3),,5xyz中有且仅有一个能被整除.3,4,5;5,12,13;8,15,17;7,24,25.例如：2020/9/1223定理1的证明：(1),xy显然不同偶；,xyz若同奇，则为偶，也不可能.2222(21)(21)xymn由224()2mnmn不论z如何取值，z2也不可能表示为该形式。(2),31,31xyxmyn若都不能被3整除，记，2222(31)(31)xymn32N(3),,xyz若都不能被5整除，5152,5152.xmmynn记或或讨论同(2).2020/9/1224定理1虽然给出了勾股数的一些特征，如何进一步写出任意的勾股数呢？引理不定方程2,0,0,0,(,)1(3)xyzxyzxy的一切正整数解，可以写成下面的形式22,,,,0,(,)1(4)xaybzababab充分性显然；必要性的证明如下：221111,,(3),,,,,0.xyzxaxybyabxy设是的解，并记(,)1xy由11(,)1(,)1.xyab，22211(3),,zabxy代入得到111.xyz只有时，才有整数解2020/9/1225定理2：(1)(2)2x方程满足条件且的解具有下列形式：22222,,xabyabzab，0,0,(,)1,.ababab，且有不同的奇偶性(5)充分性：,,(5),(1),2.xyzx若满足显然满足且(,)dxy设是的任一质因数，22(1).dzdz则由得到dydz由，2222()()dabdab，222,2dadb(,)1ab又21,2ddd或，22yab而是奇数，1.d所以，2020/9/1226必要性：,,(1)2.2,2.xyzxyz设是的解，且则寣2()()()222xzyzy且(,)||.2222yzzyyzzyddd记，则有，,(,)dydzdyz，(,)11.yzd又2200(,)1222xyzyzabababab由引理得，，,,，22222,,,0,0,(,)1.xabyabzababab从而2,.yab由有不同的奇偶性Œ定理2：(1)(2)2x方程满足条件且的解具有下列形式：22222,,xabyabzab，0,0,(,)1,.ababab，且有不同的奇偶性(5)2020/9/1227Fermat大定理约于1637年，在DiophantusArithmetica(Book2,ProblemVIII)的旁白上，PierredeFermat写道：“不可能把一个立方数分成两个立方数，或把一个四次幂分成两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分成两个同一次的幂；对此，我发现了一个殊堪称道的证明，但这里的空白太小，容不下。”(3).nnnxyzn方程没有非零整数解2020/9/1228相关高次方程解的判定定理3不定方程