高数-无穷小无穷大

第二章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第六节机动目录上页下页返回结束无穷小与无穷大当一、无穷小定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当)x(或为时的无穷小.时为无穷小.)x(或机动目录上页下页返回结束说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC时,函数(或)x则称函数为定义1.若(或)x则时的无穷小.机动目录上页下页返回结束其中为0xx时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0Axf)(,证:Axfxx)(lim0,0,0当00xx时,有Axf)(Axf)(0lim0xx对自变量的其它变化过程类似可证.机动目录上页下页返回结束时,有,,min21二、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设,0当时,有当时,有取则当00xx22因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，nnnnnn2221211lim1机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设Mu又设,0lim0xx即,0当时,有M取,,min21则当),(0xx时,就有uuMM故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束例1.求解:01limxx利用定理2可知xxysin说明:y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束三、无穷大定义2.若任给M0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作))(lim()(0xfxxx)(Xx)(x))(lim(xfx(正数X),记作,))((Mxf总存在机动目录上页下页返回结束注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束例.证明证:任给正数M,要使即只要取,1M则对满足的一切x,有所以若则直线0xx为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:机动目录上页下页返回结束四、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,)(1xf为无穷小;若为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:机动目录上页下页返回结束第二章,0时xxxxsin,,32都是无穷小,引例.xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但可见无穷小趋于0的速度是多样的.机动目录上页下页返回结束五、无穷小的比较,0limCk定义.,0lim若则称是比高阶的无穷小,)(o,lim若若若,1lim若~~,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作机动目录上页下页返回结束例如,当)(o～0x时3x26xxsin;xxtan;～xxarcsin～x20cos1limxxx220sin2limxx又如，22)(4x21故时是关于x的二阶无穷小,xcos1221x～且机动目录上页下页返回结束例1.证明:当时,～证:～nnba)(ba1(naban2)1nb机动目录上页下页返回结束～～定理1.)(o证:1lim,0)1lim(0lim即,)(o即)(o例如,,0时x～,tanxx～故,0时x)(tanxoxx机动目录上页下页返回结束定理2.设且存在,则lim证:limlimlimlimlimlim例如,xxx5sin2tanlim0xxx52lim052机动目录上页下页返回结束设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),(2)和差代替规则:,~,~不等价与且若,~则例如,xxxx3sinlim30xxx3lim031机动目录上页下页返回结束~则,limlim且.~时此结论未必成立但例如,11sin2tanlim0xxxxxxxx2102lim2(3)因式代替规则:极限存在或有且若)(,~x界,则)(limx)(limx例如,.sintanlim30xxxx30limxxxx原式机动目录上页下页返回结束32210limxxxx例1.求01sinlim1sinarcsinlim00xxxxxx解:原式例2.求.1cos1)1(lim3120xxx解:机动目录上页下页返回结束内容小结01.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小机动目录上页下页返回结束2.等价无穷小替换定理～～～～～Th2常用等价无穷小:第八节目录上页下页返回结束