高中函数基础知识复习-学生版

1函数整体框架函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。②函数与方程、不等式、数列是相关内容。③函数导数：常见函数的导数、复合函数导数；求切线、求单调性、求极值、求零点个数等。④考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数导数：常见函数的导数、复合函数导数；求切线、求单调性、求极值、求零点个数等2函数的概念及性质一、函数概念（一）知识梳理1．映射设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2．函数(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点1：映射的概念例1.（1）AR，{|0}Byy，:||fxyx；（2）*{|2,}AxxxN，|0,ByyyN，2:22fxyxx；（3）{|0}Axx，{|}ByyR，:fxyx．上述三个对应是A到B的映射的有：．例2.若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个。例3.设集合{1,0,1}M，{2,1,0,1,2}N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象()fx的和都为奇数，则映射f的个数是（）()A8个()B12个()C16个()D18个BA、fABABBAf:BA、fAxBABAxxfy),(Axxfy),(xxA)(xfyxyAxxf)()(xfy3考点2：判断两函数是否为同一个函数例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（n∈N*）；（4），；（5），考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1．已知二次函数满足，求例2．（09湖北改编）已知=，则的解析式可取为题型2：求抽象函数解析式例1．已知函数满足，求。2)(xxf33)(xxgxxxf)(;01,01)(xxxg1212)(nnxxf1212)()(nnxxgxxf)(1xxxxg2)(12)(2xxxf12)(2tttg)]([xgf)(xf)(xf564)12(2xxxf)(xf)11(xxf2211xx)(xf)(xfxxfxf3)1(2)()(xf4考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.（湖北）函数的定义域为()题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．（·湖北）设，则的定义域为（）例2．已知函数的定义域为，求的定义域例3．已知的定义域是，求函数的定义域例4．已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域(-3x-1)x)(xf)4323ln(122xxxxxxxxf22lgxfxf22)(xfy][ba，)2(xfy)2(xfy][ba，)(xfy5考点5：求函数的值域1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，或指数、对数函数。如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。（9）对勾函数法像y=x+mx，（m0）的函数，m0就是单调函数了三种模型：（1）如4yxx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x[-1,0)(0,4],求值域（2）如44yxx，求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）（3）如123yxx，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间4cos2sin2xxy2)1(cos4cos2sin22xxxy)32(log221xxyuy21log322xxu22122xxxy]2133,2133[1cos3cos2xxy432xxy])2,1[(2224xxxy6二、函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(,)ab内，若总有()0fx，则()fx为增函数；反之，若()fx在区间(,)ab内为增函数，则()0fx，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax,0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)bbaa，减区间为[,0),(0,]bbaa.（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。4、函数的最大（小）值设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。（二）考点分析考点1函数的单调性题型1：讨论函数的单调性)(xfyAAII1x2x21xx)()(21xfxf)(xfyII)(xfyI1x2x21xx)()(21xfxf)(xfyII)(xfy)(xfyI0)(xf)(xfII0)(xf)(xfI)(xf)(xg)()(xgxf1x2x)(2121xxxxxy1)0,(),0(),0()0,(xy1)0,(),0()(xfyAAx0Ax)()(0xfxf)(0xf)(xfyAx0Ax)()(0xfxf)(0xf)(xfy7例1．（1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2()82,fxxx若2()(2)gxfx试确定()gx的单调区间和单调性．例2.判断函数f(x)=在定义域上的单调性.题型2：研究抽象函数的单调性例1．已知函数()fx的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，（1）求证：()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)上是增函数；（3）解不等式2(21)2fx．题型3：函数的单调性的应用例1．若函数2)1(2)(2xaxxf在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______例2．已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____12x8考点2函数的值域（最值）的求法求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型1：求分式函数的最值例1．（上海）已知函数当时，求函数的最小值。题型2：利用函数的最值求参数的取值范围例2．（广东）已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。xaxxxf2)(2).,1[,x21a)(xfxaxxxf2)(2).,1[,x[1,),()0xfxa9三、函数的奇偶性（一）知识梳理1、函数的奇偶性的定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断()()fxfx（2）利用定义的等价形式,()()0fxfx，()1()fxfx（()0fx）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称3．函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.故(0)0f是()fx为奇函数的既不充分也不必