直线中的对称问题

第1页共3页例谈直线中的对称问题直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）1,3A关于点3,2P的对称点A的坐标,（2）4,2A，2,0A关于点P对称，求点P坐标.解：由题意知点P是线段AA的中点,所以易求（1）5,1A（2）3,1P.因此，平面内点00,yxA关于baP,对称点坐标为002,2ybxa平面内点11,yxA，22,yxA关于点2,22121yyxxP对称二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点1,1A直线：02xy，求点A关于直线的对称点A的坐标解:法（一）解：设yxA,，则AA中点坐标为21,21yx且满足直线的方程022121xy①又AA与垂直，且,AA斜率都存在1kkAB即有1111xy②由①②解得3x，1y1,3A法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出AA的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求A坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线1：012yx关于点1,2P的对称直线2的方程.解:法（一）直线1：012yx与两坐标轴交点为21,0A，0,1B第2页共3页点21,0A关于1,2P对称点23,4A点0,1B关于1,2P对称点2,3B过BA,的直线方程为072yx故所求直线2方程为072yx.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：02yx关于直线033yx对称的直线方程.解：在：02yx上任取一点0,2A直线033yx的斜率为3过点0,2A且与直线033yx垂直的直线斜率为31，方程为023yx033023yxyx得109107yx所以点109,107为直线033yx与023yx的交点，利用中点坐标公式求出0,2A关于033yx的对称点坐标为59,517又直线02yx与033yx的交点也在所求直线上由03302yxyx得2925yx所以交点坐标为29,25.过59,517和29,25的直线方程为0227yx，故所求直线方程0227yx.第3页共3页练习1.求点2,2A关于直线0942yx的对称点坐标为___________；2.已知直线123:yxl与点2,2P，则直线l关于点P的对称直线方程为___________；3.直线042:yxa关于直线0143:yxl对称的直线b的方程为___________；4.两点2,2baA，babB,关于直线1134yx对称，则a_____，b_____；5.过点0,3P作一直线，使它夹在两直线022:1yxl和03:2yxl之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程.