导数及不等式综合题集锦

1导数及不等式综合题集锦1．已知函数()ln,fxxax其中a为常数，且1a.（Ⅰ）当1a时，求()fx在2[e,e]（e=2.71828…）上的值域；（Ⅱ）若()e1fx对任意2[e,e]x恒成立,求实数a的取值范围.2.已知函数.,1ln)(Raxxaxf（I）若曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线与直线02yx垂直，求a的值；（II）求函数)(xf的单调区间；（III）当a=1，且2x时，证明：.52)1(xxf3.已知322()69fxxaxax（aR）．（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）当0a时，若对0,3x有()4fx恒成立，求实数a的取值范围．4．已知函数).,()1(31)(223Rbabxaaxxxf（I）若x=1为)(xf的极值点，求a的值；（II）若)(xfy的图象在点（1，)1(f）处的切线方程为03yx，（i）求)(xf在区间[-2，4]上的最大值；（ii）求函数)(])2()('[)(RmemxmxfxGx的单调区间25．已知函数.ln)(xaxxf（I）当a0时，求函数)(xf的单调区间；（II）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是,23求a的值.6．已知函数bamxbaxmxxf,,,)1(3)(223R（1）求函数)(xf的导函数)(xf；（2）当1m时，若函数)(xf是R上的增函数，求baz的最小值；（3）当2,1ba时，函数)(xf在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围.7．已知函数()2ln.pfxpxxx（1）若2p，求曲线()(1,(1))fxf在点处的切线；（2）若函数()fx在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数2(),[1,]egxex若在上至少存在一点0x，使得00()()fxgx成立，求实数p的取值范围。8.设函数21()()2ln,().fxpxxgxxx（I）若直线l与函数)(),(xgxf的图象都相切，且与函数)(xf的图象相切于点(1,0)，求实数p的值；（II）若)(xf在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围。39.已知函数为常数其中且aaaxxgxxxfa),1,0(log)(,221)(2，如果)()()(xgxfxh在其定义域上是增函数，且()hx存在零点（()()hxhx为的导函数）。（I）求a的值；（II）设(,()),(,())()AmgmBngnmn是函数()ygx的图象上两点，0()()()gngmgxnm0(()()),:.gxgxmxn为的导函数证明10.设函数2()lnfxxmx，2()hxxxa。（Ⅰ）当a=0时，()()fxhx在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m=2时，若函数()()()kxfxhx在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m，使函数()fx和函数()hx在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．11.已知函数.)(,)2(),2](,2[)33()(2ntfmfttexxxfx设定义域为（I）试确定t的取值范围，使得函数],2[)(txf在上为单调函数；（II）求证：mn；（III）求证：对于任意的200)1(32)(),,2(,20texftxtx满足总存在，并确定这样的0x的个数。12.已知函数xaxxfln)(2在]2,1(是增函数,xaxxg)(在(0,1)为减函数.（1）求)(xf、)(xg的表达式；（2）求证:当0x时,方程2)()(xgxf有唯一解；(3）当1b时,若212)(xbxxf在x∈]1,0(内恒成立,求b的取值范围.413.已知函数Rxff在且0)(',0)1('上恒成立.（1）求dca,,的值；（2）若;0)()(',41243)(2xhxfbbxxxh解不等式（3）是否存在实数m，使函数]2,[)(')(mmmxxfxg在区间上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.14.已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．15.设函数ln()lnln(1)1xfxxxx．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式()fxa≥的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．51.解：（Ⅰ）当1a时，()ln,fxxx得1()1,fxx………2分令()0fx，即110x，解得1x，所以函数()fx在(1,)上为增函数，据此，函数()fx在2[e,e]上为增函数，…………4分而(e)e1f，22(e)e2f，所以函数()fx在2[e,e]上的值域为2[e1,e2]……6分（Ⅱ）由()1,afxx令()0fx，得10,ax即,xa当(0,)xa时，()0fx，函数()fx在(0,)a上单调递减；当(,)xa时，()0fx，函数()fx在(,)a上单调递增；……………7分若1ea，即e1a，易得函数()fx在2[e,e]上为增函数，此时，2max()(e)fxf，要使()e1fx对2[e,e]x恒成立，只需2(e)e1f即可，所以有2e2e1a，即2ee12a而22ee1(e3e1)(e)022，即2ee1e2，所以此时无解.………8分若2eea，即2eea，易知函数()fx在[e,]a上为减函数，在2[,e]a上为增函数，要使()e1fx对2[e,e]x恒成立，只需2(e)e1(e)e1ff，即21ee12aa，由22ee1ee1(1)022和222ee1ee1(e)022得22ee1e2a.…10分若2ea，即2ea，易得函数()fx在2[e,e]上为减函数，此时，max()(e)fxf，要使()e1fx对2[e,e]x恒成立，只需(e)e1f即可，所以有ee1a，即1a，又因为2ea，所以2ea.……………12分综合上述，实数a的取值范围是2ee1(,]2.……………13分2.解：（I）函数}0|{)(xxxf的定义域为，.1)(2xxaxf………2分又曲线))1(,1()(fxfy在点处的切线与直线02yx垂直，所以.21)1(af即a=1…4分[来（II）由于.1)(2xaxxf当0a时，对于0)(),,0(xfx有在定义域上恒成立，即),0()(在xf上是增函数.当).,0(1,0)(,0axxfa得由时当)(,0)(,)1,0(xfxfax时单调递增；6当)(,0)(,),1(xfxfax时单调递减.…………………………8分（III）当a=1时，).,2[,11)1ln()1(xxxxf令.5211)1ln()(xxxxg.)1()2)(12(2)1(111)(22xxxxxxg………………10分当),2()(,0)(,2在时xgxxgx单调递减.又.0)(,)(,0)2(xgxgg时所以即.05211)1ln(xxx故当a=1，且52)1(,2xxfx时成立.……………………13分3解：（Ⅰ）22'()31293()(3)0fxxaxaxaxa（1）当3aa，即0a时，2'()30fxx，不成立．（2）当3aa，即0a时，单调减区间为(3,)aa．（3）当3aa，即0a时，单调减区间为(,3)aa．-------------------5分（Ⅱ）22'()31293()(3)fxxaxaxaxa，()fx在(0,)a上递增，在(,3)aa上递减，在(3,)a上递增．（1）当3a时，函数()fx在[0,3]上递增，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是(3)f，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有(3)4,3,fa解得a．（2）当13a时，有33aa，此时函数()fx在[0,]a上递增，在[,3]a上递减，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是()fa，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有()4,13,faa解得1a．（3）当1a时，有33a，此时函数()fx在[,3]aa上递减，在[3,3]a上递增，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是()fa或者是(3)f．由2()(3)(3)(43)fafaa，①304a时，()(3)faf，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有(3)4,30,4fa解得233[1,]94a．②314a时，()(3)faf，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有()4,31,4faa解得3(,1)4a．综上所述，23[1,1]9a．-----------14分74．解：（1）.12)(22aaxxxf1x是极值点0)1(f，即022aa0x或2.…3分（2）))1(,1(f在03yx上.2)1(f∵（1，2）在)(xfy上baa13122又11211)1(2aakf38,10122baaa.2)(,3831)(222xxxfxxxf（i）由0)(xf可知x=0和x=2是)(xf的极值点.[,8)4(,4)2(,34)2(,38)0(ffff)(xf在区间[－2，4]上的最大值为8.…………………………8分（ii）xemmxxxG)()(2])2([)()2()(22xmxemmxxeemxxGxxx令0)(xG，得mxx2,0当m=2时，0)(xG，此时)(xG在),(单调递减当2m时：x(－∞，2，－m)2－m（2－m，0）0（0，+∞）G′（x）－0+0－G（x）减增减当时G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增.当2m时：x（－∞，0）0（0，2－m）2－m（2－m+∞）G′（x）－0+0－G（x）减增减此时G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增，综上所述：当m=2时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减；2m时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增；2m时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增.5．解：函数xaxxfln)(的定义域为),0(…………1分221)('xaxxaxxf…………3分（1）.0)(',0xfa故函数在其定义域),0(上是单调递增的.…………5分（II）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a1时，,0)('xf函数)(xf单调递增，其最小值为,1)1(af这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾；…………6分8②当a=1时，函数exf,1)(在单调递增，其最小值为,1)1(f同样与最小值是23相矛盾；…7分③当ea1时，函数axf,1)(在上有0)('xf，单调递减，在ea,上有,0)('