选修4-5-《不等式选讲》全册教案

1第一讲不等式和绝对值不等式课题：第01课时不等式的基本性质教学目标：1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的基本性质。教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(ab0)，若再加m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为ab，加入m克糖后的糖水浓度为mamb，只要证mambab即可。怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴2上的表示可知：0baba0baba0baba得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：①、如果ab，那么ba，如果ba，那么ab。(对称性)②、如果ab，且bc，那么ac，即ab，bcac。③、如果ab，那么a+cb+c，即aba+cb+c。推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d．即ab，cda+cb+d．④、如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc．⑤、如果ab0，那么nnba(nN，且n1)⑥、如果ab0，那么nnba(nN，且n1)。三、典型例题：例1、比较)7)(3(xx和)6)(4(xx的大小。分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例2、已知dcba,，求证：dbca．例3、已知ab0，cd0，求证：cbda。四、课堂练习：1：已知3x，比较xx113与662x的大小。2：已知ab0，cd0,求证：dbacab。五、课后作业：课本9P第1、2、3、4题六、教学后记：3课题：第02课时基本不等式教学目标：1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程：一、知识学习：定理1：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：a2＋b2－2ab＝（a－b）2当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0所以，（a－b）2≥0即a2＋b2≥2ab由上面的结论，我们又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：∵（a）2＋（b）2≥2ab∴a＋b≥2ab，即a＋b2≥ab显然，当且仅当a＝b时，a＋b2＝ab说明：1）我们称a＋b2为a，b的算术平均数，称ab为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.二、例题讲解：例1已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2证明：因为x，y都是正数，所以x＋y2≥xy（1）积xy为定值P时，有x＋y2≥P∴x＋y≥2P上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P.（2）和x＋y为定值S时，有xy≤S2∴xy≤14S2上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大值14S2.4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。例2：已知a、b、c、d都是正数，求证：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由a、b、c、d都是正数，得ab＋cd2≥ab·cd＞0，ac＋bd2≥ac·bd＞0，∴（ab＋cd）（ac＋bd）4≥abcd即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得l＝240000＋720（x＋1600x）≥240000＋720×2x·1600x＝240000＋720×2×40＝297600当x＝1600x，即x＝40时，l有最小值297600因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.三、课堂练习：课本P91练习1，2，3，4.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业课本P10习题1.1第5，6，7题六、教学后记：5课题：第03课时三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；2．了解基本不等式的推广形式。教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果Rcba,,，那么33abccba。当且仅当cba时，等号成立。推广：naaan21≥nnaaa21。当且仅当naaa21时，等号成立。语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：类比基本不等式，是否存在：如果Rcba,,，那么abccba3333（当且仅当cba时，等号成立）呢？试证明。二、例题分析：例1：求函数)0(322xxxy的最小值。解一：3322243212321232xxxxxxxxy∴3min43y解二：xxxxxy623223222当xx322即2123x时∴633min3242123221262y上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1bbaabaRba)(1,,求且若的最小值。由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________例2：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？6变式训练2已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一____二_____三________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习1.函数)0(1232xxxy的最小值是()A.6B.66C.9D.122.函数222)1(164xxy的最小值是____________3．函数)20)(2(24xxxy的最大值是（）A.0B.1C.2716D.27324.(2009浙江自选)已知正数zyx,,满足1zyx，求2444zyx的最小值。5（2008，江苏，21）设cba,,为正实数，求证：32111333abccba四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业P10习题1.1第11，12，13题六、教学后记：7课题：第04课时绝对值三角不等式教学目标：1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。1．请同学们回忆一下绝对值的意义。0000xxxxxx，如果，如果，如果。几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）aa，当且仅当0a时等号成立，.aa当且仅当0a时等号成立。（2）2aa，（3）baba，（4）)0(bbaba那么?baba?baba二、讲解新课：结论：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）已知,ab是实数，试证明：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）方法一：证明:10.当ab≥0时,20.当ab0时,探究:,,abab,之间的什么关系?ba||,||()||||||||(||||)||||22222222ababababaabbaabbabab||,||()||||||||||||||(||||)||||22222222222ababababaabbaabbaabbabab8baab综合10,20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）定理1如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）（1）若把ba,换为向量ba,情形又怎样呢？根据定理1，有bbabba，就是，abba。所以，baba。定理（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则ababab≤≤注：当ba,为复数或向量时结论也成立.推论1：1212nnaaaaaa≤推论2：如果abc、、是实数,那么acabbc≤,当且仅当()()0abbc≥时,等号成立.思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？（设A，B，C为数轴上的