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12013年9月犀利哥的高中数学组卷一．选择题（共11小题）1．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：则2010位于（）A．第7组B．第8组C．第9组D．第10组4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个5．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A．4B．3C．2D．16．（2013•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（）A．78B．76C．84D．837．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个8．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）2A．15B．16C．28D．259．定义A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18D．2710．已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A．﹣1B．1C．0D．±111．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（）A．a∈P，b∈QB．a∈Q，b∈PC．a∈P，b∈PD．a∈Q，b∈Q二．填空题（共14小题）12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和_________．13．（2011•上海模拟）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是_________．14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是_________．15．（2006•四川）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法．②G={偶数}，⊕为整数的乘法．③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是_________．（写出所有“融洽集”的序号）16．（2012•安徽模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；②正整数集是闭集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．其中正确的结论的序号是_________．17．（2011•绵阳三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c给出下列命题：①0∈A②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．其中正确命题的序号是_________（把你认为正确的命题的序号都填上）．318．已知集合A={a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA={x|x=ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card（TA）表示集合TA中元素的个数．①若A={2，4，8，16}，则card（TA）=_________；②若ai+1﹣ai=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（TA）=_________．19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是_________．20．设集合A=，B=，函数f（x）=若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是_________．21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣（2）R+∪R﹣（3）（4）以0为聚点的集合有_________（写出所有你认为正确结论的序号）．22．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）_________．23．设，则A∩B用列举法可表示为_________．24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即，其中a，b∈Q．则下列元素：①；②；③；④．其中是集合M的元素是_________．（填序号）25．用列举法表示集合：=_________．三．解答题（共5小题）26．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．4（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．27．对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：（1）1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？（2）讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．28．已知集合A={x|x=m+n，m，n∈Z}．（1）设x1=，x2=，x3=（1﹣3）2，试判断x1，x2，x3与集合A之间的关系；（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系．29．已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则∈A．（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）0是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素；（3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？30．设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？52013年9月犀利哥的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的考点：元素与集合关系的判断．715936专题：压轴题；阅读型；新定义．分析：本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．解答：解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确故选A．点评：此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}考点：元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．715936专题：计算题．分析：首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可．解答：解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B点评：本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：则2010位于（）A．第7组B．第8组C．第9组D．第10组6考点：元素与集合关系的判断；集合的表示法；等差数列；等比数列．715936专题：计算题．分析：首先将正偶数集合按大小顺序排列是一个等差数列，先求出2010是此数列中的第几项，然后按第n组有2n个偶数进行分组，每组中集合元素的个数正好是等比数列，求出解答：解：正偶数集按从小到大的顺序排列组成数列2，4，6…2n2n=2010，n=1005由第一组{2，4}的元素是2个第二组{6，8，10，12}的元素是4个第三组{14，16，18，20，22，24，26，28}的元素是8个…第m组的元素是2n个2+4+8+…+2n==2m+1﹣22m+1﹣2＜1005，解得2m＜503.5m∈z，28=256，29=512，256＜503.5＜512所以，m=9，故选C．点评：此题表面是一个集合题，实际上考查等差数列的通项公式和等比数列求和公式，但过程中一定要思路清晰，否则容易出错．4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个考点：元素与集合关系的判断．715