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第十章线性二次型高斯问题(LQG问题)1.确定型线性二次型问题()()()()()()10(1)()()()()()()()()()()()()()()()ˆTNTTkkAkkBkkkCkkJNFNkQkkkRkkKkxkKkxk−=+=+⎧⎨=⎩=⎡⎤+∑+⎣⎦=−=−xxuyxxxxxuu(P1)得到ukuk2线性二次高斯问题假设为零均值高斯白噪声，它们的协方差分别为。随机变量是高斯的，均值为，协方差为，互相独立。()()wk和vk()()12RkRk和()0x()0x0R()()()0,xwkvk和10(){()()()()()()()()}uxxxxuuNTTTNkJENFNkQkkkRkk−=⎡⎤=+∑+⎣⎦系统的随机干扰系统的量测误差NkkkkCk,2,1)()()()(=+=vxy输出方程(0),(1),(1)()uuuuNNJ−使最小。LQC问题是：假设(A，B)能达，(C，A)能观测，求1,1,0)()()()()()1(−=++=+NkkkkBkkAkwuxx随机线性系统3卡尔曼滤波在已知数据为的条件下，估计系统的状态，()(){},kYyiuiik=≤()xkm+滤波估计：由带有噪声的状态方程和观测方程得到对系统的状态的估计。当m0时，对状态的估计称为平滑估计当m=0时，对状态的估计称为滤波估计当m0时，对状态的估计称为预测估计状态滤波需要解决的问题是：求K(k),使估计最好。3卡尔曼滤波--预测估计（1）()()()()()()()()()1=zkAGCzkBukGykAzkBukGykCzk+=++−+−−⎡⎤⎣⎦利用由新数据y(k)得到的新息对估计值进行修正令——估计误差ˆ()()(1)xxxkkkk=−−对应ˆˆˆ(1)()(1)()()[()()(1)]xxuyxkkAkkkBkKkkCkkk+=−++−−对随机线性系统可证明无偏估计()0Exk=⎡⎤⎣⎦3卡尔曼滤波--预测估计(2)含义：任意向量最小。()1TkJSkkααα=−，(1)[()()][()()]xxxxTSkkEkEkkEk−=−−卡尔曼滤波：求K(k)，使误差的方差最小。(1)Skk−可得到：12121()()(1)()[()()(1)()](1)()(1)()()()(1)()[()()(1)()]()(1)()TTTTTTKkAkSkkCkRkCkSkkCkSkkAkSkkAkRkAkSkkCkRkCkSkkCkCkSkkAk−−=−+−+=−+−−+−−0(01)SR−=初始条件为：1210ˆˆ(11)()()()()(1)[(1)ˆ(1)(()()()())]ˆ(00)(0)()(1)()[()()(1)()](1)()(11)()()()(1)()()(1)(00)xxuyxuxxTTTkkAkkkBkkKkkCkAkkkBkkKkSkkCkRkCkSkkCkSkkAkSkkAkRkSkkSkkKkCkSkkSR−++=++++−++==−+−−=−−+=−−−=利用直到k时刻的数据，估计3卡尔曼滤波--滤波估计ˆ()xkkkY是确定型线性二次型问题P1的最优控制。*()()()ukLkxk=−4分离定理定理10.1LQG问题的最优控制为：或*ˆ()()(|1)xukLkkk=−−*ˆ()()(|)xukLkkk=−1()()()(1)()()[()()()()]()TTTPkQkAkPkAkLkRkBkPkBkLk−=++−+)()1()()]()1()()([)(1kAkPkBkBkPkBkRkLTT+++=−FNP=)(式中4分离定理)()()1|(ˆ)()|1(ˆkkBkkkAkkuxx+−=+[]ˆ()()()(|1)KkkCkkk+−−yx状态的最优估计由下式递推得到：12)]()1/()()()[()1/()()(−−+−=kCkkSkCkRkCkkSkAkKTT121(1)()(1)()()()(1)()[()()(1)()]()(1)()TTTTSkkAkSkkAkRkAkSkkCkRkCkSkkCkCkSkkAk−+=−+−−+−−式中的由下式计算0(01)SR−=初始条件为()Kk4分离定理z分离定理：LQG问题的最优解是状态的最优估计的线性反馈，反馈增益矩阵L(k)的计算与线性二次问题相同，这样可以分别解P1和最优状态估计问题，用得到的最优状态估计作反馈，就可以得到LQG问题的最优解。状态方程和是0均值正态白噪声序列，X(0)是0均值正态随机变量，，并且与独立。目标函数求最优控制1225,15.RR==)()()()()(2)()1(kvkxkykwkukxkx+=例10-1++=+},1,0),({=kkw},1,0),({=kkv0100R=)(),(kvkw()()222303kJEXuk=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑()()()3u0,u1,u2使J最小例10-1z步骤1：求状态估计问题ˆˆˆ(1|1)(/)2()(1)[(1)((|)2())]xkkxkkukKkykxkkuk++=++++−+1(1)(1)[15(1)]KkSkkSkk−+=+++(1)(|)25(11)(1)(1)(1)(00)100SkkSkkSkkSkkKkSkkS+=+++=+−++=式中)1(+kK下面逐次求出11(0|0)100(2)38.375(1538.375)0.720(1|0)10025125(2|2)10.7450.72*38.37510.745(1)125[15125]0.893SKSSK−−==+==+==−==+=(3|2)10.7452535.745(1|1)1250.893*12513.375(3)35.745(1535.745)0.704(2|1)13.3752538.375(3|3)35.7SSKSS=+==−==+==+==450.704*35.74510.58−=例10-1893.0)1(=K720.30)2(=K704.0)3(=Kˆˆ(1|1)(|)2()ˆ(1)[(1)((|)2())]xkkxkkukKkykxkkuk++=++++−+代入滤波公式依次可以继续计算下去，这里就计算这三步。将所求的卡尔曼滤波器的增益)1(+kyˆ(1|1)xkk++就可以根据量测数据估计例10-1步骤2：解线性二次型问题得()()()()()()***ˆ00.15400ˆ00.22211ˆ00.40022uxuxux=−=−=−