函数的奇偶性和周期性教案

函数的奇偶性和周期性教案【教学目标】1．了解函数奇偶性定义，懂得判断一些函数的奇偶性；2．理解奇（偶）函数图象的特性；3．了解几类常见函数的周期【教学重点】奇（偶）函数的性质【教学难点】分段函数和抽象函数奇偶性的判断【例题设置】例1（偶函数的性质），例2（分段函数奇偶性的判断），例3（抽象函数奇偶性的判断【教学过程】一、例题引入〖例1〗定义在[2,]a上的偶函数()gx，当0x时，()gx单调递减．(1)()gmgm，求实数m的取值范围．解：∵定义在[2,]a上的函数()gx为偶函数∴区间[2,]a关于y轴对称，即20a，解得2a，并且(|1|)()gmgx∴(1)()(|1|)(||)gmgmgmgm…………①又∵当0x时，()gx单调递减∴不等式①等价于0|1|20||2|1|||mmmm，解得112m∴实数m的取值范围为1[1,]2★点评：本题应用了偶函数的一个性质(|1|)()gmgx，从而避免了一场“大规模”的分类讨论．二．要点回顾函数的奇偶性（应优先考虑定义域）：1．定义：（设函数()yfx的定义域为D）⑴如果对于任意的xD，有()()fxfx，那么()yfx叫做偶函数，其图象关于y轴对称，在其对应的区间内有相反的单调性．．．．．．．．．．．．．．．．⑵如果对于任意的xD，有()()fxfx，那么()yfx叫做奇函数，其图象关于原点轴对称，在其对应的区间内有相．．．．．．．．．．同．的单调性．．．．．★注意：具有奇偶性的函数，其定义域必关于y轴（或原点）对称．2．奇偶性的等价条件()fx为偶函数()()()()0fxfxfxfx(||)()fxfx()1()fxfx()fx为奇函数()()()()()()()01()fxfxfxfxfxfxfxfx3．判断函数奇偶性的步骤：⑴判断函数的定义域是否关于y轴（或原点）对称（该步很关键且容易被遗漏）；⑵对()fx进行化简，若已是最简形式，可跳过该步骤；⑶判断()fx与()fx的关系．★注：亦可根据函数的图象判断其奇偶性（但不能用来证明奇偶性）．〖例2〗判断下列各函数的奇偶性：⑴221()lglgfxxx⑵1()(1)1xfxxx⑶220()0xxxfxxxx解：⑴函数的定义域(,0)(0,)关于y轴对称，且22()lglg0fxxx∴()fx既为奇函数也为偶函数⑵由101xx得原函数定义域为[1,1)关于y轴不对称∴()fx既非奇函数也非偶函数⑶函数的定义域(,0)(0,)关于y轴对称当0x时，0x，则22()()()()fxxxxxfx当0x时，0x，则22()()()()fxxxxxfx综上所述，对任何x(,0)(0,)都有()()fxfx，故()fx为奇函数．★点评：分段函数的性质的讨论通法为“分类讨论”．〖例3〗()fx是定义在R上的函数，对于任意,xyR，()()fxyfxy2()()fxfy恒成立，且(0)0f,试判断()fx的奇偶性.解：∵对于任意,xyR，()()fxyfxy2()()fxfy恒成立令0xy，得(0)(0)2(0)(0)ffff，且(0)0f，∴(0)1f令0x，得()()2(0)()fyfyffy，即()()fyfy．故()fx是偶函数．★点评：抽象函数是近几年高考的热点，研究这类函数的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化．4．奇（偶）函数的性质（补充）⑴奇函数的反函数仍是奇函数；（()0fx）（()0fx）⑵若奇函数()fx在0x处有定义，则(0)0f⑶已知2012()nnfxaaxaxax，则当0240aaa（即偶数次项系数都为0）时，()fx为奇函数；法1350aaa（即奇数次项系数都为0）时，()fx为偶函数．⑷函数()0fx（定义域D关于y轴对称）既为奇函数也为偶函数；⑸奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数；（文科不给，理科证明如下）已知：()fx为奇函数．求证：()fx为偶函数∵()fx为奇函数∴()()fxfx证法一：两边同时求导得：()()fxfx，即()()fxfx∴()fx为偶函数⑹若()()fxgx、都是奇（偶）函数，则()()fxgx为奇（偶）函数；()()fxgx为偶函数；()()fxgx（()0gx）为偶函数；⑺若()()fxgx、中一个为偶函数，一个为奇函数，则()()fxgx为奇函数；()()fxgx（()0gx）为偶函数；三、函数周期性复习1．定义：如果对于任意的．．．xD（D为()fx的定义域），有()()fxTfx，那么()yfx具备周期性，T叫做函数的一个周期．2．几种常见的函数周期⑴sin()yAx2||T⑵cos()yAx2||T⑶tan()yAx||T证法二：∴0()()()limxfxxfxfxx0()()()limxfxxfxfxx0()()limxfxxfxx0()()lim()xfxxfxfxx注意()fx与[()]fx的区别思考：周期函数的定义域是否都为R？函数2((2,21))yxkxkk其中kZ，其周期为2⑷cot()yAx||T⑸若对任意的．．．xD，都有()()fxhfxh，则()fx的周期2Th推广：若对任意的．．．xD，都有()()fxafxb，则()fx的周期||Tba⑹若对任意的．．．xD，都有()()fxhfx，则()fx的周期2Th⑺若对任意的．．．xD，都有1()()fxhfx，则()fx的周期2Th⑻若对任意的．．．xD，都有()()fxTfx，则()fx的周期为T【课堂小结】1．“定义域必关于y轴（或原点）对称”是函数具有奇偶性的必要条件；2．()fx为偶函数(||)()fxfx；3．若奇函数()fx在0x处有定义，则(0)0f．在大题中要给出证明：由()fx为奇函数知(0)(0)ff，故(0)0f【教后反思】