全等三角形的性质

课题全等三角形教学目标掌握全等三角形的性质及常见的判定方法重点全等三角形的判定，能解决相关证明题。难点1、能够完全重合的两个图形叫做全等图形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、“全等”用符号’≌”表示，读作“全等于”。当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形主要是指形状、大小相同的两个三角形，与位置无关系，将一个三角形经过平移、翻折、旋转后，得到的三角形与原三角形全等。【例1】如右图中△ABC和△DEF全等，记作，其中点A和点，点B和点，点和点D是对应点，边AB和，和ED，AC和是对应边；【例2】分别指出下列三组全等三角形的对应点和对应边：分析:1、平移型你能写出上面全等三角形的对应边和对应角吗？2、旋转型注意问题：1、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的叫做对应角。书写的时候一定要对应写。2、寻找两个全等三角形的对应元素（即对应角、对应边）的方便：通过分析图形的变换方式来确定对应关系。A'ABCE'D'DEFABCDEFACBDOEDCBAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBAFEDCBA2③轴对称型你能写出上面全等三角形的对应边和对应角吗？3、翻折轴对称型你能写出上面全等三角形的对应边和对应角吗？4、大山型5、组合型（平移+旋转）你能写出上面全等三角形的对应边和对应角吗？1、全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．全等三角形对应边上的高，对应边上的中线，对应角的平分线也。两个全等三角形的面积周长。【例3】如图，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：（）A、ΔABD和ΔCDB的面积相等B、ΔABD和ΔCDB的周长相等C、∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD、AD//BC，且AD=BC分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等．至于D，因为AD和BC是对应边，因此AD＝BC，又∠ADB与∠CBD为对应角，即∠ADB=∠CBD，可得AD//BC；只有结论C不正确，答案为C．说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角∠ABD与∠CBD．EDCBAFEDCBAODCBADCBANMFEDCBAEDCBAODCBAE①父字型②翻折型④轴对称型⑤蝶型3EDCBA【例4】如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边.在△NMH中，MH是最长边.EF=2.1cm，EH=1.1cm，HN=3.3cm.⑴写出其他对应边和对应角；⑵求线段NM和线段HG的长度；举一反三：1、如图，已知△EAD≌△ABC,点A和点B是对应点,C和D的对应点,那么在图中,和CD+BC相等的线段是2、如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6B．5C．4D．无法确定3、如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数。【例5】如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求∠α的度数。举一反三：1、如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACBB．∠CAFC．∠BAFD．∠BAC3、如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）MNEFGH4A．40°B．35°C．30°D．25°【例6】如图,在ABCD中,将△ABE沿BE翻折,点A落在CD边上,成为点F,如果△DEF和△BCF的周长分别是8cm和22cm,求FC的长度。举一反三：如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=39°,则AN=___cm,NM=___cm,∠NAB=___.【例7】如图，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．举一反三：已知：如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．【例8】如图，已知△ABD≌△ACE，且AB=AC，求证：BE=CD。【例9】如图，已知△ABC≌△ADE，∠CAD=15°，∠DFB=90°，∠B=25°，求∠E和∠DGB的度数。FEDCBAADCBNMBEDCAFDECBAG510分钟训练1.一定是全等三角形的是()A.面积相等的三角形B.周长相等的三角形C.形状相同的三角形D.能够完全重合的两个三角形2.下列说法中正确的是()A.全等三角形的边相等B.全等三角形的角相等C.全等三角形的高相等D.全等三角形等角的对边相等3.如图，图中两个三角形能够完全重合，下面写法中正确的是()A.△ABE≌△AFBB.△ABE≌△ABFC.△ABE≌△FBAD.△ABE≌△FAB4.如图13-1-2所示，△ABC≌△CDA，AC=7cm,AB=5cm，BC=8cm，则AD的长是()A.7cmB.5cmC.8cmD.无法确定图13-1-2图13-1-3图13-1-45.如图13-1-3所示，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，下列结论中错误的是()A.∠1=∠2B.AC=CAC.∠D=∠BD.AC=BC6.如图13-1-4，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，那么AC与_________是对应边，∠B与_________，∠BCA与_________分别是对应角.§11．2三角形全等的条件（一）边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD．[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．DCBA6证明：因为D是BC的中点所以BD=DC在△ABD和△ACD中(ABACBDCDADAD公共边)所以△ABD≌△ACD（SSS）．生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．Ⅲ．随堂练习1、如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？10分钟训练1.如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕O旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB≌△___________.这两个三角形的对应边是AO与__________，OB与__________，BA与__________；对应角是∠AOB与________，∠OBA与_________,∠BAO与___________.2.如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，△ABD和△ACD全等吗？试根据等腰三角形的有关知识说明理由FDCBEA(第1题)（第2题）74、如图，ABC△中，ABAC，EBEC，则由“SSS”可以判定（）Ａ．ABDACD△≌△Ｂ．ABEACE△≌△Ｃ．BDECDE△≌△Ｄ．以上答案都不对5.如图，ABC△中，ABAC，AECF，BEAF，则E________，CAF__________．6．如图，已知：DC=AB，DF=BE，CF=AE，求证：AO=CO，EO=FO。7.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知ABCD，ADCB，你认为小明的风筝两脚大小相同吗（即B，D相等吗）？请说明理由．[例2]如图，ABDC，ACDB，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？[例3]如图，AD是△ABC的中线，ABAC。1与2相等吗？请说明理由。课堂练习AEBDCAEFCBACDBDCBA21DCBA8ABCDE图61、已知△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’，BC=B’C’，D，D’分别是BC，B’C’的中点，且AD=A’D’，求证：（1）∠B=∠B’，2、已知AB=CD，DE=BF，A，C，E，F在同一直线上，且AE=CF，求证：△ABF≌△CDE，∠D=∠B；3、已知如图6，AB＝AC，EB＝EC，AE交BC于D，求证：D为BC的中点。三角形全等判定条件之二“边角边”（SAS）------判定公理如果两个三角形的两条边对应相等，且两条对应边的夹角也相等，则两三角形全等例1已知：AD∥BC，AD＝CB(图3)．求证：△ADC≌△CBA．例2已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．课堂练习1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．93、已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠42-2课后练习1、已知：如图AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA。2、已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB。3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE。．求证如图、已知CB=BC:AC.=CAAB,=BAAC,ACAB,AB,:45、如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，求证ΔABE≌ΔACDABCDAEBCFD2ACBHED110ABCDEABCDE2-36、如右图，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，AC=AE，求证：CB=ED7、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：∠B=∠D。8、如图，已知AB=AD，AC平分∠DAB，求证：EDCEBC。9、已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，证明：BE=CD；ADCB