几何体体积的-求法

1、用割补法求体积2、用补形法求二面角3、用补形法求异面直线所成角二、用割补法解决立体几何中的几类问题一、引言BCADEF如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5.求：此几何体的体积？用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。BCADEF分析：∴V几何体=V三棱柱21BCADEFMN用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.如图：取CM=AN=BD,连结DM,MN,DN.分析：∴V几何体=V三棱柱+V四棱锥如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。求：此几何体的体积？例1.如图:斜三棱柱的一个侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到这个侧面的距离为h.求：斜三棱柱的体积.C1B1A1ABCO如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）则V四棱柱＝S×h∴V三棱柱＝s×h21B1C1A1ABCO例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。ABCSEF提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为等边三角形，边长为，SASB。取SA中点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得：SC平面ABE。利用：VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱锥体积。注意：分割法求体积。66（KEY：）3ABCSD例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。法二：取AB中点D，连接SD，CD。易得△ABC为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SD⊥AB，CD⊥AB。又SA=SB=SC，∴S在底面的射影为底面的外心，即点D，∴SD⊥平面ABC。∴由VS-ABC=S△ABC•SD得三棱锥体积。631（解法2）AD1CDA1BC1B1例2.如图：在棱长为a的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，求此多面体的体积.a3322)a233()a2(h2解一：32a31a332)a2(4331hS31V正四面体A1BDC10E正方体的棱长为a，此多面体为正四面体，其棱长为√2a例2.如图：在棱长为a的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积.三棱锥正方体正四面体V4VV33a614a3a31解二：用分割法AD1CDA1BC1B1例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求D1到截面C1BD的距离。ABCDA1B1C1D1提示：利用=求解。注意：等体积法求点面距离。VDBCD11VDDCB11KEY：a33AD1CDA1BC1B1NM例3.如图：已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为AA1、CC1的中点,求：四棱锥A－MB1ND的体积四棱锥A－MB1ND的底面为菱形，高：A到底面的距离为多少？连接MN，把四棱锥分割成两个三棱锥∵MB1ND为菱形，∴SΔB1MN=SΔDMN∴VA－B1MN=VA－DMN∴V四棱锥=2VA－DMN分析：分割：AD1CDA1BC1B1NM∵高相等一、分割法----------------（椎体）对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要运用分割法，按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和．【例1】如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为.分析由于本题中多面体ABCDEF为非规则几何体，不能直接求其体积，因此可以考虑用分割法，使其分割为如图所示的两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱．解析分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，容易求得EG=HF=.21,23HCBHGDAG由题意得.32221221213112212112221BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS本题还可以这样来分割：取EF的中点P，则多面体ABCDEF分割成正四面体ADEP、PBCF和正四棱锥P—ABCD，也易于计算．点评二、补形法--------------(柱体、椎体）利用平移、旋转、延展或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体，如正方体、长方体等．【例2】已知：长方体中，AB=4，BC=2，=3，求三棱锥的体积1BBCADB11解法分析：111111DCBAABCDCADBVV111BADAV11BADBV111BADCV11BADDV3241111DCBAABCDV=243242131111BADAV=48442411CADBV1111DCBAABCD1A1D1C1BABCD三、等积转换法----------(等体积法)“等积转换法”是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．【例3】在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱A1B1、A1D1、A1A上的点，且满足A1M=A1B1，A1N=2ND1，A1P=A1A，如图，试求三棱锥A1—MNP的体积．2143分析若用公式V=Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积，则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，两者显然都不易求出，但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，显然就容易解答了．解析31MNAPMNPAVV11.241433221213121313111aaaaPANAMAABCD1A1B1C1DE例1：如图，在边长为a的正方体中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥的体积。1111DCBAABCD11DEBADASEBA1131aa22131361a解法分析：V=11DEBA11EBADV的体积求四棱锥上，在侧棱，点体积是的、三棱柱例'''36'''2AABBMCCMCBAABCB'BCAC'A'M2436323231'''’’’’’’’’’’’’CBAABCAABBMCBAABCAABBMABCMAABBMCBAABCVVVVVVV解：B'BACA'C'MB'BCAC'A'M转移顶点法例3：已知三棱锥P—ABC中，,,PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积BCPAPAEDBCEDPABCEDPADCPADBABCPVVVCDSBDSPADPAD3131CBSPAD31aba2131ba261解法分析：abaBCEDBCPAPADBC平面垂面法例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？BB1CDAC1D1A1EF易证四边形EBFD1为菱形，连结EF，则解法分析：EBFAEFDAEBFDAVVV11111EDAFEFDAVV1111aSEDA1131EBAFEBFAVV11aSEBA131或者：11112EFDAEBFDAVV点评转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个理论依据，相应的方法叫等积法．四、还原图形法此类题主要是没有直接给出几何体，而是给出了几何体的三视图，求体积时一般需要根据三视图还原成直观图，再进行解答．当棱锥的体积公式无法直接使用时ShV31通过转移顶点法切割法补形法达到分散的转化为集中课堂小结复杂的转化为简单陌生的转化为熟悉小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明过程中充分揭示了三棱锥的独特性质：可根据需要重新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计算提供了新的思考方法。3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它可补成柱体，还可以自换底面、自换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程简化。