直角三角形知识点回顾

知识点回顾知识点一：直角三角形的概念与性质1．有一个角是的三角形叫做直角三角形；2．直角三角形的两个锐角；3．直角三角形斜边上的中线等于的一半.例1．（2009湖北省荆门市）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A、40°B、30°C、20°D、10°解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°－50°=40°由折叠得∠DA′C=∠A=50°，∵∠DA′C=∠B+∠A′DB∴∠A′DB=50°－40°=10°，选D.例2．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积是cm2.解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm.∴直角三角形的面积是21×24×10=120cm2.同步检测一：1．（2009年湖南省郴州市）如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的和是_______度．2．如图3，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，点E为AC的中点，若BC=7，AB=24，则BE=，BD=.知识点二：勾股定理直角三角形的平方和等于的平方．例3．（2009年四川省宜宾市）已知：如图4，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积和为．A'BDAC（图1）ABEDC（图3）21（图2）解：过点E作ED⊥AB于点D，可证得ED=21AB，∴EDABSABE21=41AB2，同理AHCS=41AC2，BFCS=41BC2，从而图中阴影部分的面积和为41（AB2+AC2+BC2）=41（AB2+AB2）=29.例4．（2009年湖南省衡阳市）如图5，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A、1B、34C、23D、2解：Rt△DAB中，BD=54322，设AG=x，则BG=4－x由折叠得A′D=AD=3，A′G=AG=x，∠DA′G=∠A=90°，∴A′B=BD－A′D=5－3=2，∠GA′B=90°，从而Rt△GA′B中，x2+22=（4－x）2.解得x=23，选C.同步检测二：3．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于.4．（2009年四川省达州市）如图6是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A、13B、26C、47D、94★5．（2009年黑龙江省哈尔滨市）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，求BM的长.知识点三：直角三角形的判定方法1．根据定义：有一个角是的三角形叫做直角三角形；2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系：，那么这个三（图5）ABCDA′G（图4）BHFEAC（图6）角形是直角三角形，且∠C=90°.例5．（2009年湖南省衡阳市）如图7，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A、AB中点B、BC中点C、AC中点D、∠C的平分线与AB的交点解：显然到A、B、C三个村庄距离相等的点P应该是AB、BC、AC三边垂直平分线的交点.又∵BC2+AC2=6002+8002=1000000；AB2=10002=1000000∴BC2+AC2=AB2，∴∠ACB=90°,由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P的位置应在AB的中点处，选A.例6．如图8，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ.（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.（1）答：AP=CQ证：∵△ABC为等边三角形∴AB=BC，∠ABC=60°∵∠PBQ=60°∴∠ABC=∠PBQ∴∠ABP=∠CBQ在△ABP与△CBQ中，BQBPCBQABPCBAB∴△ABP≌△CBQ（SAS）∴AP=CQ（2）答：△PQC为直角三角形.理由是：设PA=3k，则PB=4k，PC=5k（k0），CQ=AP=3k∵BQ=BP，∠PBQ=60°∴△PBQ为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴PQ=PB=4kBAC（图7）CABQP（图8）又CQ2=9k2，PQ2=16k2，PC2=25k2，∴CQ2+PQ2=PC2∴△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°.同步检测三：6、（2009年黑龙江省牡丹江市）如图9，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中：①∠1=∠A；②CDDBADCD；③∠B+∠2=90°；④BC∶AC∶AB=3∶4∶5；⑤AC×BD=AC×CD，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）A、1B、2C、3D、47、（2009年甘肃省定西市）如图10，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2.随堂检测：1．（2009年湖南省长沙市）如图11，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=cm．2．(2009年上海市)如图12，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，联结AM．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是.3．（2009年贵州省安顺市）如图13，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______.ABCM（图12）（图10）EDBAC21DBAC（图9）（图11）ADCB（图13）ABCS1S2（图14）4．（2009年浙江省湖州市）如图14，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于.5．（2009年湖北省恩施自治州）如图15，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A、521B、25C、105+5D、356．（2009年浙江省丽江市）如图16，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A、172B、52C、24D、77．（2009年新疆维吾尔自治区）如图17是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是ab，，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．8．（2009年湖北省恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．如图18，著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；5201510CAB（图15）l1l2l3ACB（图16）cbacbacbacbacc（图17）（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．9．（2009年黑龙江省牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.10．（2009年湖北省咸宁市）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图19中的图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：__________________思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．．．．若△ABC三边的长分别为5a、a22、a17（a0），请利用图19中的图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．探索创新：（3）若△ABC三边的长分别为2216nm、2249nm、222nm（m0，n0，且m≠n），试运用构图法．．．求出这三角形的面积．答案：知识点回顾的答案知识点一：直角；互为余角；斜边；（图18）BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPXA图（2）（图①）（图②）ACB（图19）知识点二：两直角边；斜边；知识点三：直角；a2+b2=c2.同步测试的答案1．90°；2．BE=225，BD=25168；3．2或25；4．A；5．（1）当点F在DC上时，如图1，先证△ABE≌△BCF，可得AE=BF=5，BE=CF=3，AE⊥BF，再由面积公式BEABBMAE得BM=512.（2）当点F在AD上时，如图2，先证△ABE≌△BAF，可得BE=AF=3，∴AE=BF=5，连结EF，证□ABEF，∴BM=21BF=25.6．C（提示：能确定△ABC为直角三角形的有①②④，共3个）7．证明:（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB－∠ACD=∠ECD－∠ACD，即∠BCD=∠ACE∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD.（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠B=45°．∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°．∴Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2.∵△ACE≌△BCD∴AE＝DB，∴AD2+DB2=DE2.随堂检测的答案：1．4cm；2．2；3．76；4．2π；5．B；6．AABFEDCM（图1）ABECDMF（图2）（第5题答案图）7．解：（1）如图，（2）证明：大正方形的面积表示为2ba，大正方形的面积也可表示为abc2142，∴2ba=abc2142，即abcabba22222，∴222cba，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.8．解：（1）图18（1）中过B作BC⊥AP，交PA的延长线于点C，则PC＝40，又AP＝10，∴AC＝30.在Rt△ABC中，AB＝50，AC＝30，∴BC＝40，∴BP＝24022BCCP，∴S1＝10240；图18（2）中，过B作BC⊥AA′，交A′A的延长线于点C，则A′C＝50，又BC＝40，∴BA′＝4110504022，由轴