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自主招生模拟试题一、选择题：二、填空题12345678910A、B、C、D、A、B、C、D、二、填空题：18171615141312111、在平面直角坐标系xOy中，拋物线y=41mx245mxm23m2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条拋物线上。(1)求点B的坐标；(2)点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此拋物线上时，求OP的长；若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。2、某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）(1)请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式．(2)小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．3、阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1…（1）得：y=（x-m）2+2m-1…（2）∴抛物线的顶点坐标为（m，2m-1），设顶点为P（x0，y0），则：x0=m…(3)y0=2m-1…(4)当m的值变化时，顶点横、纵坐标x0，y0的值也随之变化，将（3）代入（4）得：y0=2x0-1．…（5）可见，不论m取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x-1．解答问题：①在上述过程中，由（1）到（2）所用的数学方法是配方法，其中运用的公式是完全平方公式．由（3）、（4）得到（5）所用的数学方法是消元法．②根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+2m2-4m+3的顶点纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式．③是否存在实数m，使抛物线y=x2-2mx+2m2-4m+3与x轴两交点A（x1，0）、B（x2，0）之间的距离为AB=4，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由（提示：|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2）．4、求使关于x的方程（a+1）x2-(a2+1)x+2a3-6=0的根为整数的所有整数a.5、⊙O1与⊙O2相交于点A、B，动点P在⊙O2上，且在⊙O1外，直线PA、PB分别交⊙O1于点C、D．问：⊙O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长或最短时点P的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．CBA··PDOO21