第3章-非稳态导热

华北电力大学梁秀俊高等传热学第3章非稳态导热非周期性(瞬态的）周期性0),,,(tzyxft一、非稳态导热的分类知识回顾温度场随时间变化特点温度场随空间变化特点二维零维一维三维华北电力大学梁秀俊高等传热学二、特点(以非周期性的为例)导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量。),,,(zyxft),,,(zyxfQ如果平壁左侧有恒定的热流q加热，平壁内温度如何变化？初始温度均匀为t0，左侧突然升温至t1.华北电力大学梁秀俊高等传热学无限大平板内的温度分布如图所示，试分析xδt0（1）如果大平板为稳态无内热源导热，（2）如果大平板为常物性无内热源导热,（3）如果大平板为常物性稳态导热，导热系数随温度如何变化？则该大平板是加热过程还是冷却过程？则其内热源为正还是负？华北电力大学梁秀俊高等传热学三、第三类边界下非稳态导热的定性分析华北电力大学梁秀俊高等传热学hhl1Bi毕渥准则数物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻hlBi(1)当Bi时，意味着表面传热系数h（Bi=h/），对流换热热阻趋于0。平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降到流体温度t。式中l为特征尺度华北电力大学梁秀俊高等传热学(2)当Bi0时，意味着物体的导热系数很大、导热热阻0（Bi=h/）。任何时间物体内的温度分布都趋于均匀一致。(3)当0Bi时，情况介于（1）和（2）之间。华北电力大学梁秀俊高等传热学3-1集总热容分析一、集总体的概念内部导热热阻远小于表面换热热阻的非稳态导热体称为集总体，任意时刻导热体内部各点温度接近均匀，这样导热体的温度只随时间变化，而不随空间变化，故又称之为零维问题。Bi0华北电力大学梁秀俊高等传热学二、环境温度为定值任意形状的固体在第三类边界条件下的换热，且满足集总体的概念。其体积为V，表面积为A，具有均匀的初始温度t0。环境流体温度恒为t∞，t0t∞。物性参数为常量。1、导热数学描述及求解体积为V表面积为A物性r,,c初始温度t0流体温度t∞表面换热系数h华北电力大学梁秀俊高等传热学能量守恒方程式VVAVqAqddtcVddr过余温度—令：tt如果表面对流换热，且导热体内无内热源时，0ddrhAVc分离变量得rdd1VchA)(tthAddtcVr华北电力大学梁秀俊高等传热学r0dd10VchArVchAetttt00从0到任意时刻积分VVFoBiAVaAVhVchA2)/()/(r上式中右端的指数可作如下变化式中BiV是特征尺度l用V/A表示的毕渥数。华北电力大学梁秀俊高等传热学导热体在时间0~内传给流体的总热量，即散热量J)1()(d)(0000rrrVchAeVcttVcΦQ称为傅立叶数2)/(AVaFoV同样FoV是特征尺度l用V/A表示的傅里叶数。华北电力大学梁秀俊高等传热学2.符合集总体的判别条件MAVhBiV1.0)/(对于厚为2δ的平板：M=1AV/RAV21/半径为R的圆柱：M=1/2RAV31/半径为R的球：M=1/32δRR华北电力大学梁秀俊高等传热学如果导热体的热容量（rVc）小、换热条件好（hA大），那么时间常数(rVc/hA)小，导热体的温度变化快。时间常数—rhAVcr3、时间常数流体热电偶接点管道rVchAetttt00华北电力大学梁秀俊传热学HeatTransfer对于测温的热电偶接点，时间常数越小，说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。热电偶时间常数热惰性级别时间常数（秒）Ⅰ90~180Ⅱ30~90Ⅲ10~30Ⅳ≤10华北电力大学梁秀俊高等传热学练习一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从100℃的热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至65℃时再放入口中。试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为2mm的圆条，厨师口中吹出的气流温度为30℃，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为100W/(m2·K),鸡肉丝的密度为810kg/m3，比热容为3350J/(kg·K)，导热系数1.1W/(m·K)。华北电力大学梁秀俊高等传热学三、环境温度线性变化0bttf积分得hAVcbVchAhAVcbrrrexp0tt令该问题的数学描述为（能量方程）0)(ftthAddtcVr随时间按指数规律衰减随时间线性变化00ddrbhAVc华北电力大学梁秀俊高等传热学华北电力大学梁秀俊高等传热学四、环境温度按简谐波变化(周期性变化）)cos(ffAttfA振幅：周期：/2ftt令：ftt000，时数学描述（能量方程）ffttAhAVc000cosddr华北电力大学梁秀俊高等传热学rrfrrfAAarctancos1exp122220解为：其中：hAcVrr随时间按指数规律衰减随时间周期性变化)cos(ffAtt华北电力大学梁秀俊高等传热学华北电力大学梁秀俊高等传热学一、无限大平壁的分析解厚度2的无限大平壁，、a为已知常数，=0时温度为t0，突然将其放置于两侧介质温度为t并保持不变的流体中，两侧表面与介质之间的表面传热系数为h。1.问题描述2δh,t∞h,t∞3-2有限厚度物体的非稳态导热华北电力大学梁秀俊高等传热学2、数学描述由于平板温度场对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。22xtat,00tt0,0xtx)(,tthxtx-华北电力大学梁秀俊高等传热学tt22xa00,0-tt0,0xx0,hxx为了表达式的简洁便于求解，引入过余温度华北电力大学梁秀俊高等传热学),FoBi,(),(0xfx傅里叶数—无量纲时间2FoahBix无量纲距离毕渥数—表示内部导热热阻与表面对流换热热阻相对大小3.解的结果（分离变量法）)cos()sin(])cos[()sin(21)(0022nnnnnnaxettttn华北电力大学梁秀俊高等传热学计算表明，当傅里叶数Fo0.2（0.5）后，对于公式只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。二、非稳态导热的正规（正常）状况阶段221)(11110)cos()sin()sin(2ame])cos[()cos()sin()sin(2),(1)(11110221xexammxx),(),(00])cos[(),(1xmx华北电力大学梁秀俊高等传热学对于无限大平板按如下公式和图计算。三、正规状况阶段的实用计算方法1.采用近似拟合公式见相关文献2.线算图法-海斯勒图m平板中心的过余温度)FoBi,()Bi,()()(),(),(00fxfxxmm华北电力大学梁秀俊高等传热学)()exp(1210fFoA几何形状A平板圆柱球)(1f1111sincossin2)()()(2121120111JJJ111111sincos)cos(sin2)cos(1)(10J11)sin(华北电力大学梁秀俊高等传热学)FoBi,()(;)()(),(),(000fxxmmm无限大平板中心无量纲过余温度曲线华北电力大学梁秀俊高等传热学)Bi,()(),(;)()(),(),(00xfxxxmmm无限大平板无量纲过余温度曲线四、无限长圆柱过程类似图线类似华北电力大学梁秀俊高等传热学四、乘积解在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及短方柱体就是这类典型几何形状的例子。华北电力大学梁秀俊高等传热学矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个无限大平壁垂直相交而成；短方柱体（或称垂直六面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；华北电力大学梁秀俊高等传热学对于短圆柱体对于无限长方柱体对于短方柱体000,y,x,y,x000,r,x,r,x0000,z,y,x,z,y,x无量纲过余温度乘积解华北电力大学梁秀俊高等传热学华北电力大学梁秀俊高等传热学ttttyxΘ00),,(令对于厚度为2δ1的大平壁，数学描述为对于厚度为2δ2的大平壁，数学描述为华北电力大学梁秀俊高等传热学1证明满足导热微分方程2证明满足初始条件3证明满足边界条件华北电力大学梁秀俊高等传热学3-3半无限大物体的非稳态导热一、半无限大物体概述所谓半无限大物体，几何上是指如图所示的那样的物体，其特点是从x=0的界面开始可以向x正的方向及其它两个坐标(y,z)方向无限延伸。半无限大物体是非稳态导热的特有概念。0xzy华北电力大学梁秀俊高等传热学二、相似性变换法求解给定壁温问题一个半无限大物体,初始温度均匀为t0，在=0时刻，在x=0的一侧表面温度突然升高到tw，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。0022),(),0(0)0,(0txtxttxtxtxtatw0,022xa0,0,0x0,0,xwtt华北电力大学梁秀俊高等传热学0022),(),0(0)0,(0txtxttxtxtxtatw0tt一个半无限大物体,初始温度均匀为t0，在=0时刻，在x=0的一侧表面温度突然升高到tw，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。二、相似性变换法求解给定壁温问题0,022xawx,0,00,0,x华北电力大学梁秀俊高等传热学0x二、相似性变换法求解给定壁温问题相似变化法的基本思路：通过对微分方程的自变量进行变换，来减少自变量的个数，所找到的新的变换的变量称之为相似性变量。优点：减少自变量个数，偏微分方程变换成常微分方程，求解方便。缺点：应用条件苛刻。相似变化依赖经验。华北电力大学梁秀俊高等传热学ax2令：22xa2221axax212axx21222241ax华北电力大学梁秀俊高等传热学0dd2dd22w,00,原来的数学描述变换为：通解为：ddz令02ddzz则)exp(dd21Cz0tt华北电力大学梁秀俊高等传热学代入定解条件可得：erfcaxerfww)]4(1[原问题解为通解为：)exp(dd21Cz再积分得：2021)exp(CdCwwCC21/2duuerf)exp(2)(02高斯误差函数华北电力大学梁秀俊高等传热学erfaxerfttttww)4(00duuerferfc)exp(21)(1020tt取wtt取