行列式计算技巧(吴礼斌)

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线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,139552360461计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法.其实,同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算.因此,除了掌握好行列式的基本性质外,针对行列式的结构特点,选取恰当的方法,才能较快地计算行列式.这里我们将介绍一些常用的方法.1.化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上(下)三角行列式、范德蒙行列式以及形如0*AB,*0AB的行列式的结果.如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式,则不难求出所给行列式的值.例1计算行列式1123133795204213571464410102D.解这是一个阶数不高的数值行列式,通常将它化为上(下)三角行列式来计算.1260000010002010014020132112220035120140202010013211432315141312rrrrrrrrD例2计算n阶行列式1231231231231111nnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa.解这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,139552360462结构相似,因此n列之和全同.将第2,3,…,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是1.12231223122312232323231231112,,2,,11111111111111111nnnnnnnnnnnininniiiiininaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2311010000100001111.nnniiiiaaaaa例3计算1n阶行列式122111111111122122222222122111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaabababbaabababbDaabababb.其中1210naaa.解这个行列式的每一行元素的形状都是nkkiiab,k0,1,2,…,n.即ia按降幂排列,ib按升幂排列,且次数之和都是n,又因0ia,若在第i行(i1,2,…,n)提出公因子nia,则D可化为一个转置的范德蒙行列式,即线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,139552360463211111122221212222111111111111111.nnnnnnnnnnnnnnjniiijinijijijjinbbbaaabbbDaaaaaabbbaaabbaaabaab≤≤≤≤2.降阶法当一个行列式的某一行(列)的元素有比较多0时,利用行列式的依行(列)展开定理将它化为较低阶的行列式来计算.例4计算n(n≥2)阶行列式0001000000001000aaDaa.解按第一行展开,得100000000000010000001000naaaaDaaa.再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到1112222111nnnnnnnDaaaaaa.线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,1395523604643.拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行(列)的元素都写成同样多的和,然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和.例5计算n(n≥2)阶行列式111212122212121212nnnnnnnxyxynxyxyxynxyDxyxynxy.解将nD按第一列拆成两个行列式的和,即1211112122221222212122122122nnnnnnnnnnnnxynxyxyxynxyxynxyxyxynxyDxynxyxyxynxy.再将上式等号右端的第一个行列式第i列(2i,3,…,n)减去第一列的i倍;第二个行列式提出第一列的公因子1y,则可得到12111212222222122111222211212121212.12nnnnnnnnnnnnnnnnxyxyxxynxyxyxyxxynxyDyxyxyxxynxyxxxnxxxnyyyxxxn当n≥3时,0nD.当2n时,221212Dxxyy.例6计算n阶行列式线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,139552360465nxaaaaxaaDaaxaaaax,(0a).解将第一行的元素都表成两项的和,使nD变成两个行列式的和,即000000.nxaaaaaaxaaDaaxaaaaxxaaaaaaxaaaxaaaaxaaaxaaaaxaaax将等号右端的第一个行列式按第一行展开,得:1000nxaaxaaxaDaaxaaaax.这里1nD是一个与nD有相同结构的1n阶行列式;将第二个行列式的第一行加到其余各行,得:1022002000.naaaaaaaaaxaaxaaaaaxaxaaaaaxxaaxa于是有线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,13955236046611nnnDxaDaxa(1)另一方面,如果将nD的第一行元素用另一方式表成两项之和:000xaaaaa仿上可得:11nnnDxaDaxa(2)将(1)式两边乘以xa,(2)式两边乘以xa,然后相减以消去1nD,得:2nnnxaxaD.4.加边法在给定的行列式中添上一行和一列,得加边行列式,建立新的行列式与原行列式的联系,以求得结果.例7计算n(n≥2)阶行列式1231111111111111111nnaaDaa,其中120naaa.解先将nD添上一行一列,变成下面的1n阶行列式:1121111011101110111nnaDaa.显然,1nnDD.将1nD的第一行乘以1后加到其余各行,得线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,13955236046711211111000110100nnaDaa.因0ia,将上面这个行列式第一列加第i(2i,…,1n)列的11ia倍,得:111221211211111111111000001000001000000000110011niinnniinnniiaaaaaaaaaaaaaaa,故12111nnniiDaaaa.5.递推法递推法是根据行列式的构造特点,利用行列式的性质,将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的,但阶数较低的行列式之和,然后利用这种关系式计算原行列式的值,最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确.这是一种颇常使用的方法,在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式,例6也利用了递推关系式.使用递推法计算行列式,一般分三个步骤,首先找出递推关系式,然后算出结果,最后用数学归纳法证明结果正确.例8计算n阶行列式线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,13955236046812211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax.解首先建立递推关系式.按第一列展开,得:1123211111100010000010010000000101000001000111nnnnnnnnnnnnxxxxDxaxxxaaaaaxxDaxDa,这里1nD与nD有相同的结构,但阶数是1n的行列式.现在,利用递推关系式计算结果.对此,只需反复进行代换,得:2212123211221221nnnnnnnnnnnnnnnnDxxDaaxDaxaxxDaaxaxDaxaxaxa,因111Dxaxa,故111nnnnnDxaxaxa.最后,用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的.当1n时,显然成立.设对1n阶的情形结果正确,往证对n阶的情形也正确.由121121111nnnnnnnnnnnnDxDaxxaxaxaaxaxaxa,可知,对n阶的行列式结果也成立.根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立.线性代数版权所有,安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌,139552360469例9证明n阶行列式2100001210001000121000012nDn.证明按第一列展开,得2100001000001210001210002000121000121000012000012nD.其中,等号右边的第一个行列式是与nD有相同结构但阶数为1n的行列式,记作1nD;第二个行列式,若将它按第一列展开就得到一个也与nD有相同结构但阶数为2n的行列式,记作2nD.这样,就有递推关系式:122nnnDDD.因为已将原行列式的结果给出,我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的.当1n时,12D,结论正确.当2n时,221312D,结论正确.设对1kn≤的情形结论正确,往证kn时结论也正确.由122211nnnDDDnnn可知,对n阶行列式结果也成立.根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立.

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