高三数学一轮复习——导数的概念及运算

高三数学一轮复习——导数的概念及运算考试要求1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.知识梳理1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率0limxf(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝0limxΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0limxΔyΔx＝0limxf(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.3.导数公式表基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.[微点提醒]1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.1f(x)′＝－f′(x)[f(x)]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，则f′(x)＝－cosx，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.－9B.－3C.9D.15解析因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0，得y＝9.答案C3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝______m/s2.解析v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.答案－9.8t＋6.5－9.84.(2019·青岛质检)已知函数f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e解析f′(x)＝2018＋lnx＋x×1x＝2019＋lnx.由f′(x0)＝2019，得2019＋lnx0＝2019，则lnx0＝0，解得x0＝1.答案B5.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.解析由题意得f′(x)＝exlnx＋ex·1x，则f′(1)＝e.答案e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________.解析设y＝f(x)，则f′(x)＝2x－1x2，所以f′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1)，即y＝x＋1.答案y＝x＋1考点一导数的运算多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【例1－1】分别求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)f(x)＝ln1＋2x.解(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋exx＝exlnx＋1x.(2)因为y＝x3＋1＋1x2，所以y′＝3x2－2x3.(3)因为y＝ln1＋2x＝12ln()1＋2x，所以y′＝12·11＋2x·(1＋2x)′＝11＋2x.角度2抽象函数的导数计算【例1－2】(2019·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln1x，则f(1)＝()A.－eB.2C.－2D.e解析由已知得f′(x)＝2f′(1)－1x，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.答案B规律方法1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.【训练1】(1)若y＝x－cosx2sinx2，则y′＝________.(2)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析(1)因为y＝x－12sinx，所以y′＝x－12sinx′＝x′－12sinx′＝1－12cosx.(2)∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案(1)1－12cosx(2)－4考点二导数的几何意义多维探究角度1求切线方程【例2－1】(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y＝－2xB.y＝－xC.y＝2xD.y＝x解析因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.答案D角度2求切点坐标【例2－2】(1)(2019·聊城月考)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.解析(1)设切点的横坐标为x0(x00)，∵曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，∴y′＝x2－3x，即x02－3x0＝12，解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(x0，y0)(x00)，∵函数y＝1x的导函数为y′＝－1x2，∴曲线y＝1x(x0)在点P处的切线的斜率k2＝－1x20，由题意知k1k2＝－1，即1·－1x20＝－1，解得x20＝1，又x00，∴x0＝1.又∵点P在曲线y＝1x(x0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1，1).答案(1)A(2)(1，1)角度3求参数的值或取值范围【例2－3】(1)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.解析(1)由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.∴f′(x)＝1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－1x.因为x＞0，所以2－1x＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).(2)f′(x)＝1－ax2，∴f′(1)＝1－a，又f(1)＝1＋a＋b，∴曲线在(1，f(1))处的切线方程为y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2a＋b，根据题意有1－a＝2，2a＋b＝5，解得a＝－1，b＝7，∴a－b＝－1－7＝－8.答案(1)B(2)－8规律方法1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】(1)(2019·东莞二调)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析(1)由f(x)＝x3＋ax2，得f′(x)＝3x2＋2ax.根据题意可得f′(x0)＝－1，f(x0)＝－x0，可列方程组x30＋ax20＝－x0，①3x20＋2ax0＝－1，②解得x0＝1，a＝－2或x0＝－1，a＝2.当x0＝1时，f(x0)＝－1，当x0＝－1时，f(x0)＝1.∴点P的坐标为(1，－1)或(－1，1).(2)由题意得y′＝2x＋1.在点(0，0)处切线斜率k＝y′|x＝0＝2.∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案(1)D(2)y＝2x[思维升华]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.[易错防范]1.求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)[g(x)]2，(cosx)′＝sinx；③复合函数求导分不清内、外层函