高二线性规划

目录CONTENTS线性规划01复习：1、直线的截距：注意：截距不是距离，有正负y=x+1y=-x+3横截距：直线与X轴交点横坐标纵截距：直线与Y轴交点纵坐标复习：2、在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平行的直线与形如结论yxttyxxYo观察图像：形如2x+y=t（t≠0）的直线有什么特点？复习：二元一次不等式（组）表示平面区域的方法:Oxy11x+y-1=0x+y-10x+y-10（3）二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分。（1）直线定界：Ax+By+C=0（注意实线和虚线的区别）；（2）特殊点定域：一般的，选取原点（0,0）。问题1:某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?821所需时间1240B种配件1604A种配件资源限额乙产品(1件)甲产品(1件)资源分析：把问题1的有关数据列表表示如下:设甲,乙两种产品分别生产x,y件,2841641200xyxyxy将上面不等式组表示成平面上的区域设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:y4843o区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.思考：若生产1件甲种产品获利2万元,生产1件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:当x，y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?分析：设甲,乙两种产品分别生产x，y件,则利润可以表示为：2x+3y,232z2把z=2x+3y变形为y=-x+,这是斜率为-333z在y轴上的截距为的一族与y=-x平行直线,3z求截距的最值,即可得z的最值.3z=2x+3y表示与2x+3y=0平行的一组直线2841641200xyxyxy问题：求利润z=2x+3y的最大值.143224maxZ转化为求直线的截距的最大值233zyx3z0xy434823yxM（4，2）142yx2841641200xyxyxy像这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线性规划.满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最值的可行解叫做这个问题的最优解变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？2841641200xyxyxy0xy4348133zyxN（2，3）142yx变式：求利润z=x+3y的最大值.max23311z解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；线性规划问题：设z=2x+3y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。目标函数（线性目标函数）线性约束条件任何一个满足不等式组的（x,y）可行解可行域所有的最优解线性规划问题2841641200xyxyxyyx4843o把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。可行域可行解最优解[练习]解下列线性规划问题：1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：11yyxxyxOyABCy=xx+y=1y=-12x+y=011yyxxyB:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3目标函数：Z=2x+y例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。甲、乙的盈利率分别为100﹪和50﹪,列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo4x＋y≤1018x＋15y≤66x≥0y≥0解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。M容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmax＝33、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解题回顾】要能从实际问题中，建构有关线性规划问题的数学模型.关键求出约束条件和目标函数.解：设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元依题意线性约束条件为：0018310yxyxyx目标函数为：yxZ5.0作出可行域可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大由6418310yxyxyx6,4A75.064maxZ（万元）练习题某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时分别为2h,1h.A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为Z千元，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是x＋2y≤4002x＋y≤500x≥0y≥0Z＝3x＋2y变形为它表示斜率为的直线系，Z与这条直线的截距有关。223zxy23XYO400200250500当直线经过点M时，截距最大，Z最大。M解方程组50024002yxyx可得M（200，100）Z的最大值Zmax＝3x＋2y＝800（千元）故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。二元一次不等式表示平面区域直线定界，特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解应用求解方法：画、移、求、答例2：画出不等式组表示的平面区域3005xyxyxOXYx+y=0x=3x-y+5=0注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。1、.画出下列不等式组表示的平面区域：(1)242yyxxy4oxy-2练习：1、.画出下列不等式组表示的平面区域：(2)9362323xyyxxyxOxy332练习：作出不等式组表示的平面区域1255334xyxyxXOYx-4y+3=0X=13x+5y-25=0ABCA:(5,2)B:(1,1)C:(1,4.4)1255334xyxyx问题1：x有无最大（小）值？问题2：y有无最大（小）值？问题3：2x+y有无最大（小）值？XOYX-4y+3=0X=13x+5y-25=0ABCA:(5,2)B:(1,1)C:(1,4.4)2x+y=02x+y=1此时Z=3此时Z=12Zmax=12Zmin=3Z=2x+y求z=3x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件2x+3y24x-y7y6x0y0XOYABCD712-768y=6x-y=72x+3y=24l0:3x+y=0l1目标函数：Z=3x+y典例剖析题型一求线性目标函数的最值例1：求z＝3x＋5y的最小值，使x，y满足约束条件x＋2y≥3，7x＋10y≥17，x≥0，y≥0.作直线l：3x＋5y＝0，把直线向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时，l1：3x＋5y－z＝0的纵截距最小，此时z＝3x＋5y取最小值．解方程组x＋2y＝3，7x＋10y＝17，得M(1,1)．故当x＝1，y＝1时，zmin＝8.变式训练1：设x，y满足2x＋y≥4，x－y≥－1，x－2y≤2，则z＝x＋y()A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最大值，也无最小值【答案】B【解析】如图所示，作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平移l0，当l0过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kW，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kW，劳力10个．又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kW，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？解：设此工厂应生产甲、乙两种产品xkg、ykg，利润z万元，则依题意可得约束条件：9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.利润目标函数为z＝7x＋12y.解：设此工厂应生产甲、乙两种产品xkg、ykg，利润z万元，则依题意可得约束条件：9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.利润目标函数为z＝7x＋12y.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图)．作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直线l经过可行域上的点M时，此时z＝7x＋12y取最大值．解方程组3x＋10y＝300，4x＋5y＝200，得M点的坐标为(20,24)．答：应生产甲种产品20千克，乙种产品24千克，才能获得最大经济效益．课堂检测：1.设变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≥1，3x－y≤3.则目标函数z＝4x＋y的最大值为()A．4B.11C．12D．14【解析】只需画出线性规划区域，如下图．可知z＝4x＋y在A(2,3)处取得最大值11.【答案】B2.约束条件为x≥0，y≥0，x＋y≥4，2x＋y≥6.则目标函数z＝4x＋5y()A．无最大值有最小值B.无最小值有最大值C．无最大值和最小值D．有最大值和最小值【解析】可行域无上界．【答案】A3．在如图所示的区域内，z＝x＋y的最小值为________．【解析】当直线x＋y－z＝0经过原点时，z最小，最小值为0.【答案】04．在如图所示的区域内，z＝－x＋y的最大值为________．【解析】因为z为直线z＝－x＋y的纵截距，所以要使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点时，直线的纵截距最大，最大值为2.【答案】2