一元二次方程(知识点-考点-题型总结)

一元二次方程专题复习考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A12132xxB02112xxC02cbxaxD1222xxx变式：当k时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：★1、方程782x的一次项系数是，常数项是。★2、若方程021mxm是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程112xmxm是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为。例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为。例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。例4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则m的值为。针对练习：★1、已知方程0102kxx的一根是2，则k为，另一根是。★2、已知关于x的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。★3、已知m是方程012xx的一个根，则代数式mm2。★★4、已知a是0132xx的根，则aa622。★★5、方程02acxcbxba的一个根为（）A1B1CcbDa★★★6、若yx则yx324,0352。考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：mxmmx,02※※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：;08212x216252x=0;;09132x例2、若2221619xx，则x的值为。针对练习：下列方程无解的是（）A.12322xxB.022xC.xx132D.092x类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx典型例题：例1、3532xxx的根为（）A25xB3xC3,2521xxD52x例2、若044342yxyx，则4x+y的值为。变式1：2222222,06b则ababa。变式2：若032yxyx，则x+y的值为。变式3：若142yxyx，282xxyy，则x+y的值为。例3、方程062xx的解为（）A.2321，xxB.2321，xxC.3321，xxD.2221，xx例4、解方程：04321322xx例5、已知023222yxyx,则yxyx的值为。变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为。针对练习：★1、下列说法中：①方程02qpxx的二根为1x，2x，则))((212xxxxqpxx②)4)(2(862xxxx.③)3)(2(6522aababa④))()((22yxyxyxyx⑤方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以71与71为根的一元二次方程是（）A．0622xxB．0622xxC．0622yyD．0622yy★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：★★4、若实数x、y满足023yxyx，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：2122xx的解是。★★★6、已知06622yxyx，且0x，0y，求yxyx362的值。★★★7、方程012000199819992xx的较大根为r，方程01200820072xx的较小根为s，则s-r的值为。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。例4、分解因式：31242xx针对练习：★★1、试用配方法说明47102xx的值恒小于0。★★2、已知041122xxxx，则xx1.★★★3、若912322xxt，则t的最大值为，最小值为。★★★4、如果4122411bacba,那么cba32的值为。类型四、公式法⑴条件：04,02acba且⑵公式：aacbbx242,04,02acba且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴.6132x⑵.863xx⑶0142xx⑷01432xx⑸5211313xxxx例2、在实数范围内分解因式：（1）3222xx；（2）1842xx.⑶22542yxyx说明：①对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成cbxax2=))((21xxxxa.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。典型例题：例1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。例2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。例4、用两种不同的方法解方程组)2(.065)1(,6222yxyxyx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式acb42根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是()A.10且mmB.0mC.1mD.1m例3、已知关于x的方程0222kxkx(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.例5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：★1、当k时，关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。★2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m的值是.★★4、k为何值时，方程组.0124,22yxykxy（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.★★★5、当k取何值时，方程04234422kmmxmxx的根与m均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程03212mxxm⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于x的方程3222kkxx根的情况。例3、如果关于x的方程022kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二年减少21，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系⑴前提：对于02cbxax而言，当满足①0a、②0时，才能用韦达定理。⑵主要内容：acxxabxx2121,⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6例2、已知关于x的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例4、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。例5、已知,是方程012xx的两个根，那么34.针对练习：1、解方程组