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-1-五年级思维第二讲基础知识：1.整除的定义、性质.定义：如果a、b、c是整数并且b0，b=ca则称a能被b整除或者b能整除a，记做ba，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做ab|.性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.2.被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾.3.被3，9整除特征：数字和被3,9整除.4.被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5.被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除.（“奇偶位差法”）.6.被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除.7.整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.例题：例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为2012𝑎𝑏，105=3×5×7，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b-1，b=0或5,7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b=5.故后两位为85.例2、求所有的x，y满足32𝑥5𝑦使得72∣32𝑥5𝑦.解：72=8×9，根据整除9性质易得x+y=8或17，根据整除4的性质y=2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价.解：设两个□处的数字分别是a、b，则有143∣𝑎679𝑏，根据11∣𝑎679𝑏，有a+b=8，再根据13∣𝑎679𝑏，所以13∣(100a+67-90-b)，再根据a+b=8得到13∣（10a-5）解得a=7b=1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60.例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.解：，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只-2-有数768768符合题目要求.因此唯一符合题目要求的数是768768.例6、要使六位数10𝑎𝑏𝑐6能够被63整除，那么商最小是多少？解：.考虑10𝑎𝑏𝑐6能被7整除，于是有7∣(100b+10c+6-100-a)，整理得7∣(2b+3c-a+4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c=2或11或20.由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a=0.此时，易验证b=0,b=1无解，而在b=2时，有解c=9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.例7、所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，180035252090000，24403252010000，所以共有36个.例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和.在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3，1+3=2+2，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.例9、已知4𝑎𝑏4𝑎𝑏…4𝑎𝑏（重复99次）能够被91整除，求𝑎𝑏.解：根据7和13的整除判断方法7（13）∣4𝑎𝑏4𝑎𝑏…4𝑎𝑏（重复99次）有7（13）∣4𝑎𝑏4𝑎𝑏…4𝑎𝑏000（重复98次），因为（91,1000）=1，所以7（13）∣4𝑎𝑏4𝑎𝑏…4𝑎𝑏（重复98次），以此类推，就有7（13）∣4𝑎𝑏，得到4𝑎𝑏=455，所以𝑎𝑏=55.例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？解：因为连续11个数是343的倍数，而33437，但是11个数中之多有两个是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却是10000的倍数，所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5的倍数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.数学万花筒——趣题欣赏：1.鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。随后，孙膑说：那我知道了。庞涓说：那我也知道了。问这两个数是什么？这个原问题可能很复杂，现在告诉你这两个数都在2-15中（但是庞涓和孙膑不知道），你能指出孙膑和庞涓每句话的逻辑含义和这两个数么？解：2个人都不知道说明两个人得到的数都存在不止一种的分解方法，庞涓的话说明讲他得到的数分解成两个数的和，这两个数的乘积都存在另一种分解方式，而之后孙膑的话说明庞涓的话告诉他，庞涓得到的数只能是5-197之中的某几个，而他所得到的乘积的各种分解方式中只有一种所得到的和在庞涓可能得到的数种。而庞涓最后一句话则说明，孙膑对-3-于自己的数的猜测让庞涓否定了和的其他分解方式。具体解法是考虑庞涓得到的数，一定是5-29，先否定质数+2，可以分解成两个质数的和的偶数，还剩下6、8、11、17、23、27、29.容易否定6、8，然后对于每种和的分解利用庞涓最后也能知道逐一否定，得到唯一解4和13.2、一枚，三枚，还是四枚有一种硬币游戏，其规则是：（1）一堆硬币共九枚.（2）双方轮流从中取走一枚，三枚或四枚.（3）谁取最后一枚谁赢.两人中是否必定会有一人赢？如果是，如何取？答：后手必胜.如果因为在剩余5枚的时候先手取3枚必胜.在有9枚时，如果先手去4枚则后手取3枚，如果先手去3枚则后手取4枚.如果先手取一枚则后手取一枚.此时还剩7枚，此时先手只能取1枚，后手再取4枚即可获胜.作业题：1.已知六位数2𝑎3𝑏4𝑐能够被720整除，请问这个六位数是多少？（答案=213840或者293040）2．55555559999999□是7的倍数，求空格中的数字.（答案：3）3.一个三位数，它的百位数字是4，加9能被7整除，请问这个数是多少？（答案=439）4.请证明六位数𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐一定能被7、11、13整除.（证明略）5．已知自然数A的各个数位上的数码之和与3A的各个数位上的数码之和相等，证明A必能被9整除.（3A数字和是3的倍数，A的也是，所以A能被3整除，所以3A能被9整除，所以数字和是9的倍数，所以A的也是，所以A能被9整除.）课堂练习题：班级________姓名___________得分______1、如果一个数𝑎327𝑏能被72整除，求a+b.答案：a+b=6.整除8的性质可以推出b=2，整除9的性质可以推出a=4.2、请根据7、11整除判断方法的推导和证明，类比推出对于17的整除判定（提示17×59=1003）答案：末三位与末三位之前的数的三倍之差能被7、11、13整除3、用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？解：1+4=2+3，所以1，4在偶数位，2和3在奇数位或者1和4在奇数位，2和3在偶数位，共有2×2×2=8个.4、已知四个整数，他们两两的和都能被两两的差整除，请问其中最大的两个数的和最小是多少？解：10.思想：差越小越容易整除.任意连续的3个数，只要其中有两个偶数都满足要求，所以可以找到2，3，4，6.容易验证没有更小的符合题目要求的解.5、15位同学分别编号1-15，1号同学写下了一个不少于6位的数，后面每个人都说这个数-4-能被自己的编号整除，经验证，只有连续两个编号相连的人说错了，请问这个数至少是多少？答案：2,3,4,5,6,7都必须能整除五位数，否则不能满足题意，所以10,12,14,15也能整除这个五位数，因此这个数不能被8、9整除.所以这个数至少整除4×5×7×11×13=60060.因为这个数至少是六位而又不能被8、9整除，所以这个数至少是60060×5=300300.6、请问是否存在一个数以7结尾的数，把7挪放到第一位之后得到的数恰巧等于原来的数的7倍.若存在，请答出这个数的位数，若不存在，请证明.答案：22位，竖式乘法即可得出答案.