数值分析思考题答案

1数值分析课程思考题1．叙述拉格朗日插值法的设计思想。Lagrange插值是把函数y=f(x)用代数多项式pn(x)代替，构造出一组n次差值基函数；将待求得n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。2．函数插值问题的提出以及插值法发展的脉络。问题的提出：实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是，通过观察或测量或试验只能得到在[a,b]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi),(i=0,…,n)或者f(x)函数表达式是已知的，但却很复杂而不便于计算希望用一个简单的函数描述它。发展脉络：在工程中用的多的是多项式插值和分段多项式插值。在多项式插值中，首先谈到的是Lagrange插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数的问题，但是其高次插值基函数计算复杂，且次数增加后，插值多项式需要重新计算，所以在此基础上提出Newton插值，它是另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。如果对插值函数，不仅要求他在节点处与函数同值，还要求它与函数有相同的一阶，二阶甚至更高阶的导数值，这就提出了Hermite插值，它是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的。为了提高精度，加密节点时把节点分成若干段，分段用低次多项式近似函数，由此提出了分段多项式插值。最后，由于许多工程中对插值函数的光滑性有较高的要求，就产生了样条插值。3．描述数值积分算法发展和完善的脉络。数值积分主要采用插值多项式来代替函数构造插值型求积公式。通常采用Lagrange插值。如果取等距节点，则得到Newton-Cotes公式，其中，当n=1时，得到梯形公式；当n=2时，得到Simpson公式；当n=4时，得到Cotes公式。由于高次Newton-Cotes公式的求积系数有正有负，将产生很大的计算误差，引起计算不稳定，所以受分段插值的启发，对数值积分也采用分段求积，导出复化求积公式；其中，在小区间上用梯形公式求和的称为复化梯形公式，用Simpson公式求和的成为复化Simpson公式，用Cotes公式求和的称为Cotes公式。但由于步长的选取是个问题，所以，导出逐次分半法来计算。而由于有些函数在x=0的值无法求出，为2了求出很快收敛于f(0)的数列，就导出了Richardson外推法，根据此思想，利用变步长的复化梯形公式推导出Romberg积分法。后来，人们希望能选择求积节点，确定求积系数，使代数精度有所提高，就得到Gauss型求积公式，常用的有Gauss-Legendre求积公式（权函数为1）Gauss-Chebyshev求积公式（带权），Gauss-Laguerre求积公式，Gauss-Hermite求积公式（广义）。4．什么是简单迭代法？对某个非线性方程，构造一个迭代格式进行计算，发现迭代不收敛，应该从哪些方面找原因。简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x),然后建立迭代格式：当给定处值x0后,由迭代格式可求得数列{xk}。如果{xk}收敛于x*，则它就是方程的根。用直接的方法从原方程中隐含的求出x，从而确定迭代函数(x)，这种迭代法收敛速度较慢。应该看迭代函数的构造是否收敛，因为收敛性取决于迭代函数在根邻近的性态，还有初值的选取是否合理，要尽量接近精确值。5．什么是截断误差和舍入误差？他们分别对应算法的哪种性质？计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差；若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差。在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差它们分别对应算法的近似性和有限性。6．牛顿迭代在什么情况下能达到平方收敛。函数在其零点附近二阶连续可微，且其零点处的一阶导函数值不为零，则在其零点的邻近是平方收敛的。7．非线性方程迭代法的收敛阶怎样定义？怎样确定一个算法的收敛阶。收敛阶定义：)(1kkxx*xxekk记满足和若存在实数01cppkkkee1limc，设*limxxkk3确定一个算法的收敛阶：8．什么是解线性方程组的直接法。哪些方法属于这种类型，他们能完成的条件是什么？常用的解线性方程组的迭代法有哪些？收敛条件是什么？描述SOR算法的设计思想，该算法有哪些优点？直接法：是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。直接法：高斯消去法：要求主元素均不为零，当出现小主元素时会严重影响计算结果的精度；列主元素法；全主元素法；直接三角分解法：矩阵需为方阵，其顺序主子式均不为零；追赶法：严格对角占优的三对角矩阵，其非零元素集中分布在主对角线及其相邻的两条次对角线上，称为三对角矩阵；平方根法：矩阵为对称正定矩阵；改进的平方根法。迭代法：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；松弛法（低松弛和SOR法）收敛条件：①Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小于1.②Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于1（谱半径小于所有范数）③Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件是系数矩阵为严格对角占优。④Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法收敛的充分条件是系数矩阵为对称正定矩阵。SOR：为了加速迭代过程的收敛，引入参数，在Gauss-Seidel迭代法的基础上得到，将△x乘上参数因子作为修正项而得到的公式，可看成是Gauss-Seidel迭代法的加速。优点：收敛速度加快。9．舍入误差扩散的一般规律？总结四则运算以及开方、乘方运算误差扩散规律。计算机参与运算的数据往往是近似数，都带有误差。这些误差通过多次运算会时称为平方收敛时称为超线性收敛时称为线性收敛当阶收敛则称迭代法2,1,1,pppp附近满足：在根如果迭代法迭代函数*)(xx阶导数均连续；存在px)()1(,0*)()1(xp*)(*)()2(xx0*)()(xp而pxxkk的收敛阶是则迭代法)(14进行传播，使计算结果产生一定的误差，这称为误差传播问题。舍入误差传播与数字取有效数字位数有关，有效数字位数越少，舍入误差越大。P4。10．什么是常微分方程数值解？求常微分方程数值解得一般思路。龙格—库塔方法的设计思想。定义和一般思路P231；R-K方法的设计思想P237-23811．实际中怎样控制迭代次数，其理论基础是什么？非线性方程组得迭代：事前控制和事后控制。(1)事前控制：exxLLk011解的k值。(2)事后控制：exxkk1的是否满足条件。线性方程组得迭代：理论上通过精度控制，即exxkk1。在实际中，可通过迭代精度和迭代误差两个角度控制。理论基础：大范围收敛定理/迭代法的收敛条件。12．描述两种样条插值法的计算步骤。三弯矩法P124；三转角法P126。