演绎归纳类比

推理•推理就是从一个或几个已知判断推出一个新判断的思维形式。•任何推理都是由两部分组成，一部分是推理所依据的已知判断，即前提；一部分是推出的新判断，即结论。•推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理演绎推理•所谓演绎推理，是由一般性知识的前提，推出个别性知识结论的推理，即从一般到个别的推理。•三段论：大前提、小前提和结论•公理一：凡肯定一类就能肯定一类中的一部分•公理二：凡否定一类就能否定一类中的一部分•演绎法归纳推理•归纳推理是以个别知识的判断为前提，推出一般性知识的判断为结论的推理。•根据前提中是否考察了某类事物的全部对象，归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理两种。归纳推理的几个特点•1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围•2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性•3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上归纳推理的一般步骤：试验、观察概括、推广猜测一般性结论结论对于所有的自然数n,前五个均是质数4294967297126553712257121712512312543210252423222120FFFFFF均为质数122nnF4=2+26=3+36＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，1000＝29+9711002=139+863,…前提:“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和”----歌德巴赫猜想结论:目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理.“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且（n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa分别把n=1,2,3,4代入得:11nnnaaa23451111,,,2345aaaa归纳:1nan例2.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?123123(1)1fn=1时,123(2)3fn=2时,n=1时,(1)1f123(3)7fn=3时,(2)3fn=2时,n=1时,(1)1f1233(2)1(2)ff13(2)3fn=2时,n=1时,(1)1f(3)fn=3时,123(3)f15n=4时,n=3时,(2)3fn=2时,n=1时,(1)1f(3)7f(2)1(2)ff1(3)f(4)f(4)f15n=4时,n=3时,(2)3fn=2时,n=1时,(1)1f(3)7f(2)1(2)ff1,1()2(1)1,2nfnfnn(3)1(3)ff归纳:()21nfn例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598668612812610多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式类比推理•类比推理是两个对象在一系列属性上相同，而且已知其中一个对象还具有其他属性，由此推断另一个对象也具有同样属性的推理。•类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。•类比推理是探索真理的重要逻辑形式。类比推理的逻辑形式•类比推理可用如下公式表示：•A对象具有a、b、c、d属性，•B对象具有a、b、c属性，•因此，B对象可能也有d的属性类比推理的特征•(1)类比推理的方向是从个别到个别，或从一般到一般。•(2)类比推理的结论是或然的。•类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.⑶检验猜想。观察、比较联想、类推猜想新结论类比推理的一般步骤:⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；即类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d′.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a′,b′,c′,(a,b,c与a′,b′,c′相似或相同）每当理智缺乏可靠认证的思路时，类比这个方法能指引我们前进。──康德我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它是最不容忽视的。──开普勒类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比。──波利亚1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯;2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;1)火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.科学家猜想;火星上也可能有生命存在.平面向量空间向量①abababab112233(,,)②abababab112233(,,)③aaaaR123(,,)()④abababab112233⑤ababababR112233//,,()⑥abababab1122330若，则aaaa123(,,)bbbb123(,,)ababab1122(,)①1122ababab(,)②aaaR12(,)()③ababab1122④abababR1122//,()⑤ababab11220⑥若，则12aaa(,)bbb12(,)2212||aaa⑦222123||aaaa⑦利用平面向量的性质类比得空间向量的性质例3.在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系,可以得出的猜想是______________________.”DABCＡＢＣabcc2=a2+b22222BCDABCACDADBSSSS猜想:直角三角形∠C＝90°3个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边c类比平面内直角三角形的勾股定理,得空间中四面体性质的猜想．3个面两两垂直的四面体∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S例4、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆弦直径周长面积球截面圆大圆表面积体积圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2例5:利用圆的性质类比得出球的性质球的体积34V=πR3球的表面积2S=4πR圆的周长S=2πR圆的面积2S=πR等差数列等比数列定义通项公式前n项和12)nnaadn（()nmaanmd11()2(1)2nnnaaSnnnad12)nnaqna≥（nmnmaaq11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaaq例6.利用等差数列性质类比得等比数列性质等差数列等比数列中项性质n+m=p+q时,am+an=ap+aqn+m=p+q时,aman=apaq22nmnmaaa22nmnmaaa任意实数a、b都有等差中项，为2ba当且仅当a、b同号时才有等比中项，为ab232,,mmmmmSSSSS成等差数列232,,mmmmmSSSSS成等比数列下标等差,项等差下标等差,项等比例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。思考：这样猜想出的结论是否一定正确呢？又如,在平面内，若a⊥c,b⊥c,则a//b.类比到空间，你会得到什么结论？并判断正误.错误（可能相交）猜想:在空间中，若a⊥g，b⊥g,则a//b。归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想分割问题中的类比1．问题：5个平面最多把空间分为几个部分？平面互相尽可能多地相交，才能分割最多。如果5个平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较少。但5个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。2．问题一般化：n个平面最多把空间分为几个部分？记分为个部分，再令把问题特殊化。()Fn1,2,3,n3．问题特殊化：从简单的情况做起，以便“类比”4个平面的情况不易想清楚了。但想到要使平面相交最多，才能把空间分割最多。平面相交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它的所有平面相交，二是每个平面都不过它以外任意三个平面的交点（三个平面一般情况下相交于一个点）。(1)2,(2)4,(3)8,(4)?FFFF由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？到底现在把空间分成了几个部分呢？暂难想象。由此我们想到去类比“直线分割平面”的情形。4．类比3条直线分割平面的情形这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线，看这3条直线把平面分为几部分。数一数，是7部分。这对我们有什么启示？②①③④⑤⑥⑦我们分析一下这7个部分：①是有限的部分，原三角形内部；而几个无限部分，或与原三角形有公共顶点（②，③，④），或与原三角形有公共边（⑤，⑥，⑦）。把它们加起来，于是1+3+3=7。所以3条直线分割平面，最多分为7个部分。5．类比考虑四面体的四个面延展成4个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为1；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱（有6个部分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分空间总的部分数为1+4+6+4=15。以下仍要考虑这就是一开始提出的问题：5个平面最多把空间分为几个部分？(4)146415,(5)?FF(5)?F这一问题在平面上的类似问题是什么？是5条还是4条直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，不如在“一般情形”下考虑问题：个平面分割空间和条直线分割平面。条直线“处于一般位置”的要求也可以说是：任何两条不平行；任何三条不共点。个平面“处于一般位置”的要求