沪教版高三C专题(平面向量的数量积4星)

1专题：平面向量的数量积(★★★★)教学目标理解向量夹角的定义；掌握向量数量积的概念；能运用向量的数量积的有关知识求向量的模以及两个向量的夹角、向量垂直和平行问题；灵活处理向量综合问题知识梳理10min.1、向量的夹角：已知两个非零向量,ab，如果以O为起点作,OAaOBb，那么射线,OAOB的夹角叫做向量a与b的夹角．的取值范围是0（1）当0时，表示向量a与b方向相同；（2）当时，表示向量a与b方向相反；（3）当2时，表示向量a与b相互垂直。【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和的实际意义。】2、向量的数量积已知两个非零向量a与b的夹角为（0），则把cosab叫做a与b的数量积，记作ab．即||||cosabab（1）两个向量的数量积是一个实数；（2）20aaa，当且仅当0aa时，0a（3）已知两个非零向量a与b的夹角为，则cosb叫做向量b在a方向上的投影．显然b在a方向上的投影等于||aba．（4）ab的几何意义：ab等于其中一个向量a的模a与另一个向量b在向量a的方向上的投影cosb的乘积．【数量积ab中的运算符号“”不能写作“”，也不能省略。a在b方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量；】23、向量数量积的运算律①交换律成立：abba②对实数的结合律成立：Rbababa③分配律成立：cbcacbabac特别注意：（1）结合律不成立：cbacba；（2）消去律不成立caba不能得到cb（3）ba=0不能得到a=0或b=0④但是乘法公式成立：2222babababa；2222bbaaba222bbaa；等等。⑤两个向量垂直的充要条件是：0ab4、向量数量积的坐标表示设1122(,),(,)axybxy，则1212abxxyy，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。a与b夹角为，则121222221122cosxxyyxyxya与b的夹角为锐角等价于12120xxyy且1221xyxya与b的夹角为钝角等价于12120xxyy且1221xyxy【引进向量的坐标表示和运算，揭示了向量的方向的本质属性。】典例精讲35min.例1.（★★★）已知||2,||3,aba与b的夹角为4，当向量ab与ab夹角为锐角时，求实数的取值范围。解：ab与ab夹角为锐角，()()0abab3即22(1)0aabb23cos34ab5120,得125易知当1时，ab与ab夹角为01从而得12(,1)(1,)5【当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是[0,90)】巩固练习1.（★★★）已知||3a，||3b，a与b的夹角为6，试求2ab与ab的夹角的余弦值。解：2ab与ab的夹角的余弦值231312.（★★★★）已知||2,||3,aba与b的夹角为4，当向量ab与ab夹角为锐角时，求实数的取值范围。解：11856或11856且1【0ab是两向量夹角为锐角的必要不充分条件】例2.（★★★★）已知ABC，=-1,2,=-1,2.ABkAC（1）若k=4，求ABCS；（2）若三角形为直角三角形，求ABCS.解：(1)(3,2)AB,设AB与AC为，cos||||ABACABAC165，则8sin651||||sin42ABCSABAC（2）若90A,0ABAC得5k5ABCS若90,B0ABCB得k1或0（舍）1ABCS4若90C,0ACCB，得k0（舍）【向量在垂直关系中的应用】巩固练习（★★★）在直角三角形ABC，(2,3),(1,)ABACk，求实数k的取值范围解：23k或113或3132例3（★★★★）设向量(cos,sin)22xxa，向量33(sin,cos)22xxb，[0,]2x（1）求ab及||ab；（2）若函数()2||fxabab，求()fx的最小值和最大值．22222333cossinsincossin()sin2222222||()222sin2||22sin22(1sin2)(sincos)2(sincos),[0,]2()sin22(sincos)2sincosxxxabxxxxababababxabxxxxxxxfxxxxxx解：（1）（2）由（1）得：222minmax2(sincos)sincos[0,]2[1,2]2sincos112(1)2,[1,2]12;2122.xxxxtxtxxtytttttt令当时，y当时，y5例4.（★★★★）已知向量011(1,3),(2,1),()2nnOAOBOBOBnN.（1）判断01ABB的形状，并说明理由；（2）求数列1{||}()nnBBnN的通项公式；（3）若1nnABB的面积为1()nnABBnSanN，求12lim()nnaaa．解：（1）00(1,2)BAOAOB，0012210OBBA所以0001,OBBAABB为直角三角形。（2）11||||()2nnOBOBnN，所以{||}nOB成等比数列，公比为12011||||()5()22nnnOBOB，1||nnBB=11|||2|3||35()2nnnnnnOBOBOBOBOB即1{||}()nnBBnN的通项公式为1||nnBB135()2n()nN（3）11101111||||35()515()2222nnnnnABBnnaSBBBA112nnaa，{}na成等比数列，公比12q，首项1154a11215154lim()11212nnaaaaq0B2B1BAyox6课堂检测15min.1.（★★★★）已知向量||1aee，，对任意tR，恒有||||ateae，则()A.aeB.()eaeC.()aaeD.()()aeae解：B2.（★★★★）设0,0,1,0,0,1OAB，点P是线段AB上的一个动点，=APAB，若OPABPAPB，则实数的取值范围.解：21123.（★★★★）已知a与b是非零向量，t为实数，设uatb（1）当u取最小值时，求实数t的值；（2）当u取最小值时，求证：b与atb垂直解：22222||()||2||uatbbttaba22222||()||()||||ababbtabb当2||abtb，||u取最小（2）222()0||abbatbabtbabbb()batb4.（★★★★）已知3(3,0),(0,3),(cos,sin),(,)22ABC（1）若||||ACBC,求的值（2）若1ACBC，求22sinsin21tan解：（1）54（2）595.（★★★★）已知向量(1,1)a，a与b夹角为34，且1ab（1）求向量b7（2）若向量b与(1,0)c的夹角为2，2(cos,2cos)2CdA,其中,AC为ABC的内角，且,,ABC成等差数列，求||bd的取值范围。解：（1）(1,0)b或(0,1)（2）25||[,)22bd回顾总结3min.1、用定义法求数量积时，注意2、在0ab时，须再判，才可得到,ab的夹角为锐角，钝角同理.3、在判断向量的一些性质时，切忌照搬实数的性质，须用向量定义重新考虑.解：（1）向量夹角的方向（2）,ab不平行