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2017-2018学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．1．抛物线的准线方程为____________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为2．双曲线－＝1的渐近线方程是．【答案】．【解析】由－＝得．3．若，则____________．【答案】0【解析】因为，所以1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝lnx在x＝e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax－y＋3＝0垂直，则实数a的值为________．【答案】－e 【解析】因为y′＝，所以曲线y＝lnx在x＝e处的切线的斜率k＝y′x＝e＝.又该切线与直线ax－y＋3＝0垂直，所以a·＝－1，所以a＝－e.5．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝5【解析】由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.6.已知实数满足，则的最小值．【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙ ＡＢｘ目标函数：，则当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z有最小值.7．已知：，：．若是的充分不必要条件，则实数的最大值为__________．【答案】【解析】由知，当时是的充分不必要条件，所以实数的最大值为．8．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为4，则点P到右准线的距离为_________．【答案】【解析】由题，因为点P到左焦点的距离为4，所以点P到右焦点的距离为6．设点P到右准线的距离为，则有，即．9.设是圆上一点，则到直线：的距离的最大值为．【答案】8【解析】圆心到直线距离为，最大距离为.10.若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】(2，＋∞) 【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意x∈R，ax2＋4x＋a0”为真命题，当a＝0,4x0不恒成立，故不成立；当a≠0时，解得a2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．11.x，y满足约束条件，则的取值范围为____________.【答案】【解析】作出可行域如图:表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知.12．如图，已知，是椭圆的左右两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆与A，B两点．若是正三角形，则椭圆的离心率为 ．【答案】【解析】设，则，，即，又，即，所以．13.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为．【答案】6【解析】由图可知，圆C上存在点P使∠APB＝90°，即圆C与以AB为直径的圆有公共点，所以－1≤m≤＋1，即4≤m≤6.14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(ab0)的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.若PQ＝λAP，则实数λ的取值范围为．【答案】0λ1【解析】解法1λ＝＝＝－1，设直线l：y＝k(x＋2)，由得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，即(x＋2)＝0，所以xA＝－2,xP＝，得P.所以AP2＝2＋2＝，即AP＝.同理AQ＝.所以λ＝－1＝－1＝1－.因为k20，所以0λ1.解法2由消去x得(k2＋1)y2－4ky＝0，所以yQ＝，同理yP＝，由解法1知，λ＝－1＝－1＝－1＝1－.因为k20，所以0λ1。二、解答题：本大题共6小题，共90分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）求满足斜率为的曲线的切线方程．【解析】（1）由已知得，因为切点为，所以切线的斜率，则切线方程为，即.………………6分（2）设切点坐标为，由已知得，即，，切点为时，切线方程为，即；切点为时，切线方程为，即.………………14分16.（本小题满分14分）已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．【解析】将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.………………6分(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7，或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.………………14分17．（本题满分14分）已知为实数，：点在圆的内部；：都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若“且”为假命题，且“或”为真命题，求的取值范围．【解析】（1）由题意得，，解得，故为真命题时的取值范围为．………………6分（2）由题意得，与一真一假，从而当真假时有无解；当假真时有解得．∴实数的取值范围是．………………14分18．（本小题满分16分）已知双曲线Cˊ以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，双曲线的渐近线方程为，且过A(5，)。（1）求双曲线Cˊ的标准方程；（2）以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线Cˊ的焦点为顶点,求椭圆M的标准方程；（3）在（2）条件下，已知点，且分别为椭圆M的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的取值范围。【解析】（1）………………5分（2）椭圆M的标准方程：；………………9分（3）设），则；则当时，取到最小值，即：；当在点时，取到最大值：，∴。………………16分19.(本小题满分16分)已知以点为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.(1)求△AOB的面积；(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若,求圆C的方程；(3)在(2)的条件下,设直线l:x+y+3=0，A为直线l上一点，若圆C上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A的横坐标的取值范围．【解析】(1)由题设知,圆C的方程为,化简得,当y=0时,x=0或2t,则;当x=0时,y=0或,则,∴………………5分(2)∵,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴C、H、O三点共线,则直线OC的斜率,∴t=2或t=-2∴圆心C(2,1)或C(-2,-1)∴圆C的方程为或,由于当圆方程为时,直线2x+y-4=0到圆心的距离dr,此时不满足直线与圆相交,故舍去.∴圆C的方程为………………11分(3)直线l与圆C相离，所以点A在圆C外．设AP，AQ分别与圆C相切于点P，Q，则∠PAQ≥∠BAC＝60°，从而∠CAQ≥30°.因为CQ＝，所以CA≤2.设A(x0,-3－x0)，则CA2＝(x0－2)2＋(-3－x0－1)2≤20，解得-2≤x0≤0.………………16分20.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1，设R(x0，y0)是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2。(1)若圆R与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆R的方程；(2)若r＝.①求证：2k1k2＋1＝0；②试问OP2＋OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为圆R与x轴相切于椭圆C的右焦点，所以x0=又因为点R在椭圆C上，所以＋＝1.联立①②，解得所以圆R的方程为(x-2)2＋(y±)2＝6.………………4分(2)因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x均与圆R相切，所以＝2，化简得(x－8)k－2x0y0k1＋y－8＝0.同理，(x－8)k－2x0y0k2＋y－8＝0，所以k1，k2是方程(x－8)k2－2x0y0k＋y－8＝0的两个不相等的实数根，所以k1k2＝.因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即y＝12－x，所以k1k2＝＝－，即2k1k2＋1＝0.………………10分(3)OP2＋OQ2是定值，定值为36.……………11分理由如下：解法1当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立解得所以x＋y＝.同理，x＋y＝.(13分)因为k1k2＝－，所以OP2＋OQ2＝x＋y＋x＋y＝＋＝＋＝＝36.当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2＋OQ2＝36.综上所述，OP2＋OQ2＝36.………………16分解法2当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为2k1k2＋1＝0，所以＋1＝0，即yy＝xx.因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，所以即所以＝xx，整理得x＋x＝24，所以y＋y＝＋＝12，所以OP2＋OQ2＝36.(15分)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2＋OQ2＝36.综上所述，OP2＋OQ2＝36.………………16分