张量概念及其基本运算

2016/9/131张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。•张量：向量的推广。在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量：由3n个分量组成的集合2016/9/132张量的阶◆现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；、、、当取n时，n阶张量，M=3n。张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z)→xi(i=1,2,3)•应力张量：•n阶张量可以表示为：n阶张量的下标有n个。3,2,1;3,2,1333231232221131211jiij3,2,1;3,2,1;3,2,1a21i21niiiiin2016/9/133Einstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值31332211iiiiibababababa31332211jiiijijjijbababababa23322112312)(iiiii3131ijijijijij1313121211112323222221213333323231312332222113122aaaaajiiii2016/9/134★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。◆求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。◆在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前优先求和。例：2332222112aaaaii23322112)()(aaaaii关于Kroneckerdelta（）符号：ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：ij100010001,0,1ijijjiji或：时；当时；当可用于换标，如jjjjijiaaaaa3322112016/9/135的作用与计算示例如下：ijjijijjijjijijijjjjjijiiiijijikkikikijkijijijiilllllaaaaaaaaaaaaa)()6(),,()5()4()3(3)()()()2(3)1(321332211333322221111332211233222211332211或或即置换符号1,,,1,,0,,ijijkkijkijkijkijk正序排列逆序排列有重复eee(123,231,312)(321,132,213)2016/9/136张量的基本运算A、张量的加减：张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。即：其中各分量（元素）为：ijijijcba333231232221131211aaaaaaaaaaijijijijcbaB、张量的乘积◆对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。◆两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：◆张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如：ijkjkicba)()()(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcacba或；张量的基本运算2016/9/137C、张量函数的求导：◆一个张量是坐标的函数，则该张量的每个分量都是坐标参数xi的函数。◆张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。◆对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前上方加“′”的方式来表示。例如，就表示对一阶张量的每一个分量对坐标参数xj求导。jiAiA张量的基本运算◆如果在求导中下标符号i是一个自由下标，则算子作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；如果在求导中，下标符号是哑标号，则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。例如：i321',,xxxxii332211'xuxuxuxuuiiii张量的基本运算